1.2 第1课时 勾股定理的认识及证明 学案 2023-2024学年 湘教版八年级数学下册

1.2 第1课时 勾股定理的认识及证明 素养目标 1.通过学生动手体验,利用等面积法探索勾股定理. 2.运用勾股定理和转化思想,从方程的角度求直角三角形的边长. 3.通过猜想和运用数形结合的思想分析几何图形,解决求边长的问题. ◎重点:勾股定理在直角三角形中的应用. 预习导学 知识点一 利用网格中的条件求斜边 阅读课本本课时“做一做”中的内容,回答下列问题. 1.图中的已知量:∠ACB=　 　°,AC=b=　 　,BC=a=　 　.未知量:斜边AB=c=　 　.  2.如果改变数据:a=5,b=12.在图中画一画,再量一量,可知c=　 　.  【答案】1.90　4　3　5 2.13 归纳总结　在上述两个问题中,都是已知三个量:一个角是　 　、两条直角边长,求出了　 　.  【答案】直角　斜边长 知识点二 认识勾股定理 阅读课本本课时“议一议”中的内容,回答下列问题. 1.图中的直角边是　 　,斜边是　 　.  2.图中的三个正方形的面积,S1=9、S2=　 　、S3=　 　,而9+　 　=　 　,所以S1+　 　=　 　.  即BC2+　 　=　 　.  【答案】1.AC,BC　AB 2.16　25　16　25　S2　S3　AC2　AB2 温馨提示　求S3时,可以用边长为　 　的大正方形的面积,减去4个小直角三角形的面积. 【答案】7 知识点三 勾股定理的证明 阅读课本本课时“探究”至结束的内容,回答下列问题. 1.本探究证明勾股定理的方法运用　 　法.  2.两种不同的算法计算正方形EFGD的面积: (1)直接利用正方形的面积公式求S正方形EFGD; (2)组合求面积,即S正方形EFGD=4·S△DHK+S正方形HIJK. 3.在直角三角形中,斜边大于　 　.  【答案】1.等面积 3.任一直角边 归纳总结　直角三角形两直角边a,b的　 　和,等于斜边c的　 　.即a2+b2=　 　. 【答案】平方　平方　c2 温馨提示　勾股定理体现了直角三角形三边的数量关系,也就是说在直角三角形中,只要知道其中的两条边的长度,就可以求出　 　的长度.  【答案】第三边 对点自测　(1)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则AB的长为 ( ) A.4　　　　 B. C. D.5 (2)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.10 (3)在△ABC中,∠C=90°.若a=2.4,b=3.2,则c=　 　;若∠A=45°,c=18,则a=　 　;若c=17,b=15,则△ABC的面积等于　 　.  【答案】(1)C (2)C (3)4　9　60 合作探究 任务驱动一 利用勾股定理求三角形的边长或面积 1.(分类讨论)若一个直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边长. 【答案】1.解:本题需要分类讨论:①当8 cm是斜边时,第三边长==2(cm);②当6 cm和8 cm是直角边时,第三边长==10(cm).故第三边的长为2cm或10 cm. 方法归纳交流　应用勾股定理时,在不明确直角边、斜边的情况下,我们要针对三角形三边的________进行讨论,根据“斜边大于　 　”的情况,正确运用勾股定理解题. 【答案】长度　直角边 2.(希波克拉底月牙问题)右图表示的是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,分别以Rt△ABC的各边为直径向外作半圆,则图中两个“月牙”,即阴影部分的面积为　 　 .(用含a,b,c的式子表示)  【答案】2.ab　提示:由勾股定理得a2+b2=c2, 则S阴影部分=×π×2+×π×2+ab-×π×2 =π××(b2+a2-c2)+ab =ab. 故答案为ab. 任务驱动二 用等面积法证明勾股定理 3.【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,也被称为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. 【实践操作】勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,图1,图2,图3是三种常见的 证明方法,请你从中任选一种证明勾股定理(图中出现的直角三角形的大小和形状均相同). 【探索发现】如图4,以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形,请判断S1,S2,S3的数量关系并说明理由. 【答案】3.解:【实践操作】证明:在题图1中,