专项训练01 几何证明题专项-2024年全国初中数学竞赛试题精编（人教八年级下册）

《几何证明题专项》 全国初中数学竞赛试题精选精编 1．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E． （1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论； （2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）； 小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）； 请你从中任选一种方法进行证明． （3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明． 2．如图，平行四边形中，平分交于点，且，是直角．求证：平分． 3．如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点．    (1)若，求证：； (2)如图，作交于点，求证：． 4．如图1，在和中，，点在的中点处，交于交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，将绕点旋转，使得经过点，直线交直线于点，连交直线于点，连接，若，求的长度． 5．已知：如图，把矩形对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，得到，沿着线折叠，所得到的是什么三角形？请说明理由． 7．已知：如图，△中，，，是△的中线，点在上，且．求证：． 8．【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系　　　　． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 9．已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点． 图1                图2                 图3 (1)如图1，当，且时，求的长度； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积． 10．如图，在四边形中，，，连接，，，，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，同时动点从点出发，沿线段匀速运动，当运动到点时停止运动，设运动的时间为 (1)求证：四边形为平行四边形. (2)若点的运动速度为，点的运动速度为，当运动到以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值. (3)若点的运动速度为，点的运动速度为，以，，，为顶点的四边形能否为菱形，若能，请直接写出与之间的数量关系；若不能，请说明理由. 11．在中，是对角线，，是内一点，连接，，， (1)求证： (2)当时，，，，求的面积． (3)在（1）的条件下，当平分，，，，求的长． 12．综合与实践：    (1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图1，已知，在中，，，直线经过点A，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． (2)组员小刘对图2:，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，已知，是边上的高，．的边、向外作正方形和正方形，延长交于点，若，请直接写出的面积． 13．如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． (1)求的度数； (2)连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； (3)若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 14．已知如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，，，，点是上一动点，连接． (1)如图1，当时，连接，延长，交于点，求证：； (2)如图2，以为直角边作等腰，，连接，若，，当点在运动过程中，求周长的最小值． 15．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，点为线段的