1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学案-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学习目标 1. 借助单位圆理解正弦函数、余弦函数的定义． 2. 掌握三角函数的定义域，会求给定角的三角函数值． 3.借助任意角的正、余弦函数定义理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦)在各象限的符号． 活动方案 活动一 正弦函数、余弦函数的定义(单位圆法) 如图所示，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况． 思考1 什么是单位圆？ 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题． 如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y) .射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 思考2 当α＝，点P的坐标是什么？ 当α＝或α＝时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 思考3一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 小结： 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y). (1) 把点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； (2) 把点P的横坐标x叫作α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； (3) 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫作α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) . ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数　y＝sin x，x∈R； 余弦函数　y＝cos x，x∈R； 正切函数　y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z). 例1 　(1) 当α＝时，求sin α，cos α的值； (2) 当α＝时，求sin α，cos α的值． 跟踪训练 (1) 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β的值为(　　 ) A. － B. － C. D. (2) 已知角α的终边经过点(－，－)，则sin α＝________，cos α＝________． 活动二 坐标法求三角函数值 思考4对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？ 思考5 设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，如何求角α的各个三角函数值？ 例2 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦值． 跟踪训练 已知角α的终边过点P(x，3)，且sin α＝，求x的值．　 例3　对于表中的角α，计算sin α的值，填写下表： α 0 π 2π sin α 活动三 三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？(将符号标在各个象限内) 　　 例4确定下列正弦、余弦、正切值的符号： (1) sin ； (2) cos (－465°)； (3) sin . 检测反馈 1. 已知角α的终边与单位圆的交点为P(，)，则cos α的值为(　　 ) A. B. C. D. ± 2. 已知角α的终边经过点(m，2)，且cos α＝－，则实数m的值为(　　) A. － B. ±2 C. 2 D. －2 3.已知sin α＝，cos α＝－，则角α是(　　 ) A. 第一象限角　 B. 第二象限角　 C. 第三象限角　 D. 第四象限角 4. (多选)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m)，若m>0，则下列各式一定为正值的是(　　) A. sin α B. cos α C. sin α－cos α D. sin α＋cos α 5. (多选)如果角α的终边经过点P(sin 120°，cos 30°)，那么下列说法中正确的是(　　 ) A. sin α＝　　　 B. sin α＝ C. α是第四象限角　　　 D. tan α＝1 6. 已知角α的终边经过点P(4，3)，则sin α＋cos α的值为________. 7.当α为第二象限角时，tan α________0(填“＞”或“＜”)；－的值是________． 8. 已知α为第二象限角，其终边上一点为P(x，)，且cos α＝x，求实数x的