专题1.4 角平分线和垂直平分线经典应用（五大类型）-2023-2024学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题1.4 角平分线和垂直平分线经典应用（五大类型） 重难点题型归纳 【题型一；利用角平分线的性质求面积】 【题型二：角平分线+垂直构造全等模型】 【题型三：利用垂直平分线的性质求角度】 【题型四：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 【题型五：利用尺规作图综合应用】 【题型一；利用角平分线的性质求面积】 【典例1】（2023秋•潮南区期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式1-1】（2023秋•丹阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（　　） A．6 B．7 C．8 D．14 【变式1-2】（2023秋•射洪市期末）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为10cm、15cm和20cm，三条角平分线的交点为O，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝（　　） A．2：3：4 B．3：4：5 C．1：2：3 D．5：12：13 【变式1-3】（2023秋•阳泉期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若AB＝8，DE＝4，则△ABD的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【题型二：角平分线+垂直构造全等模型】 【方法技巧】 角平分线＋垂直构造全等模型：秘籍：往角两边作垂线 解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等 【典例2】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【变式2-1】（2022秋•文峰区月考）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？ 【变式2-2】（2021秋•汉滨区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【变式2-3】（2021春•济宁期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB． 【变式2-4】（2022秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【题型三：利用垂直平分线的性质求角度】 【方法技巧】 垂直平分线的性质： 垂直平分线上的点到两边的距离相等 【典例3】（2022春•龙凤区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC＝8，求△DAF的周长． 【变式3-1】（2022春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数． 【变式3-2】（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DG、EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求∠DAE的度数． 【变式3-3】（2022秋•垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 【题型四：利用垂直平分线的性质求线段长度】 【典例4】（2023秋•商水县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于E，交AB于D，若BC＝15，AC＝9，则△ACD的周长为（　　） A．16 B．21 C．24 D．26 【变式4-1】（2023秋•黔南州期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD．如果△DBC的周长等于10cm，BC＝4cm，那么AC的长是（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm 【变式4-2】（2023秋•淮北期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【变式4-3】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，