专题02 线段的垂直平分线与角平分线期末复习(七大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题02 线段的垂直平分线与角平分线期末复习 （七大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 线段垂直平分线的性质 1 题型二 线段垂直平分线的判定 2 题型三 作已知线段的垂直平分线 3 题型四 角平分线的性质定理 3 题型五 角平分线的判定定理 4 题型六 角平分线性质的实际应用 5 题型七 作角平分线(尺规作图) 6 过关检测 7 题型一 线段垂直平分线的性质 例1：如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（   ） A．17 B．22 C．29 D．30 变式训练一 1．直线是一条河，，是在同侧的两个村庄．欲在上的处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则处到，两地距离相等的方案是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 题型二 线段垂直平分线的判定 例2：如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 变式训练二 1．如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，计算的长． 2．如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 题型三 作已知线段的垂直平分线 例3：如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 变式训练三 1．如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 2．电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型四 角平分线的性质定理 例4：如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 变式训练四 1．如图，是一个可调节平板支架的结构示意图，已知平板宽度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 题型五 角平分线的判定定理 例5：在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 变式训练五 1．如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 题型六 角平分线性质的实际应用 例6：如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 变式训练六 1．如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（     ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 题型七 作角平分线(尺规作图) 例7： 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 变式训练七 1．如图，已知锐角，在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． 2．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 一、单选题 1．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 4．如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 5．如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 7．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 二、填空题 8．如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 9．如图，在中，，，点D为AC边上一点，连接，过点D作于点E，且，则的度数为 °． 10．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 11．如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为 ． 12．如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为 ． 三、解答题 13．尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，在中，，，是上的一点，且． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接； (2)求证：是的角平分线． 猜想平分，完成下列证明： ，， ① ， ， ② ， ③ ， ，， ④ ， ，， ⑤ 15．已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 16．已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． 17．如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 线段的垂直平分线与角平分线期末复习 （七大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 线段垂直平分线的性质 1 题型二 线段垂直平分线的判定 3 题型三 作已知线段的垂直平分线 7 题型四 角平分线的性质定理 8 题型五 角平分线的判定定理 11 题型六 角平分线性质的实际应用 14 题型七 作角平分线(尺规作图) 15 过关检测 18 题型一 线段垂直平分线的性质 例1：如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（   ） A．17 B．22 C．29 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为，， 的周长为 ， 故选：B． 变式训练一 1．直线是一条河，，是在同侧的两个村庄．欲在上的处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则处到，两地距离相等的方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质的应用．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，，符合题意的是C选项， 故选：C． 2．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】A 【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 如图：连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质可得得到，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵边，的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型二 线段垂直平分线的判定 例2：如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 变式训练二 1．如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，计算的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系求得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：设交于点D， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和三线合一是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，求出，再根据三线合一得到的长，最后在中，运用勾股定理求出的长． （2）先依据等腰三角形三线合一得出 ，用证明 ，得到， ，根据线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在中， ； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型三 作已知线段的垂直平分线 例3：如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图——线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 作线段的垂直平分线交于一点，即为点． 【详解】解：如图，点即为所求． 变式训练三 1．如图，某村计划在河边上挖一个小水塘储水，方便灌溉农田，为了使其到A、B两块田地的距离相等．请你用尺规作图，确定小水塘的位置，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质， 先分别以A，B为圆心，以大于的半径画圆，然后连接两交点的直线交河面的点即为小水塘的位置，根据线段垂直平分线的性质即可得出小水塘的位置到A、B两块田地的距离相等． 【详解】解：小水塘的位置如下图所示： 2．电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段垂直平分线交n于点P即可． 【详解】解：如图，点P即为所求， 题型四 角平分线的性质定理 例4：如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解： ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于E， ∵平分，， ∴， ∴点D到边的距离是． 故选：C． 变式训练四 1．如图，是一个可调节平板支架的结构示意图，已知平板宽度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理求得，然后等面积法求出，因为平分，，则，即可作答． 【详解】解：过点B分别作，如图所示：    ∵平板宽度为，当时，可测得， ∴ ∴， ∵， ∵平分，， ∴， 点到的距离是， 故选：C． 2．如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 题型五 角平分线的判定定理 例5：在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 变式训练五 1．如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点到的距离与点到的距离相等，可得点C在的角平分线上，可得，即可解答． 【详解】解：∵点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴点C在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明：，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 题型六 角平分线性质的实际应用 例6：如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等， ∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 变式训练六 1．如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（     ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D． 2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 题型七 作角平分线(尺规作图) 例7： 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图：作角的平分线；角平分线的性质；理解角平分线的性质是解题的关键． 作的平分线，交直线于点P，即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 变式训练七 1．如图，已知锐角，在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和角平分线的尺规作图，到角两边的距离相等的点在该角的角平分线上，故点P在的角平分线，据此作的角平分线交于D，则点D即为所求． 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D，则点D即为所求． 2．如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的定义，平行线的性质和三角形的内角和，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：如图所示： 即为求作的角平分线； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 一、单选题 1．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等， ∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上； 故选：B． 2．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 3．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 4．如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识解决问题是关键． 如图：过点D作于点H．利用角平分线的性质定理判断出即可． 【详解】解：如图：过点D作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴． ∴点D到的距离是3． 故选：B． 6．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质证明，再证明，再根据含30度角的直角三角形的边角关系求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 7．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 8．如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 9．如图，在中，，，点D为AC边上一点，连接，过点D作于点E，且，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为的长即可解答． 【详解】解：如图所示：连接． ∵，D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 11．如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线作图及其性质，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据等腰三角形性质得到，，再结合垂直平分线作图及其性质，以及三角形外角性质得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：，， ，， 由作图过程可知，为的垂直平分线， ， ， 则， 即有， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的作图和角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． 先证明为直角三角形，，过点作，垂足为D，证明，得到，设，即，在中，，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：，，， 为直角三角形，， 如图，过点作，垂足为D， 由尺规作图可知平分， ， ， ， 设，即 在中， ， 解得：， ， 故选：． 三、解答题 13．尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两个村庄C，D的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置． 14．如图，在中，，，是上的一点，且． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接； (2)求证：是的角平分线． 猜想平分，完成下列证明： ，， ① ， ， ② ， ③ ， ，， ④ ， ，， ⑤ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作垂线，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，角平分线的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）以点为圆心，线段的长度为半径交于点，分别以，为圆心，大于的长度为半径作圆，交于一点，连接和该交点的直线，交于，则直线为所求； （2）根据题意可知，，可知，结合勾股定理可知，可得，即可证明平分． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：，， ， ， ， ， ，， ， ，， 平分； 故答案为：①；②；③；④；⑤平分． 15．已知：如图，为斜边上的高，的平分线分别交、于，垂足为点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，的平分线分别交、于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角，三角形的内角和定理等可求出，然后根据角平分线的性质即可得证； （2）根据含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的定义等可得，根据三线合一的性质，在中，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，由勾股定理得，，证明为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，， 理由：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用． 17．如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出点在线段的垂直平分线上，根据，说明点在线段的垂直平分线上，即可证明垂直平分； （2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：， ， 是等边三角形， ，． 垂直平分， 为中点， ， ， ， ， 是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$