（7）平面解析几何联考汇编专练2024届高三数学二轮复习

（7）平面解析几何—2024年九省联考+2023年四省联考+2021年八省联考数学专项精编 1.【2024.九省联考】椭圆的离心率为，则( ) A. B. C. D.2 2.【2023.四省联考】已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是( ) A. B. C. D. 3.【2021.八省联考】椭圆的焦点为，上顶点为A，若，则( ) A.1 B. C. D.2 4.【2021.八省联考】已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 5.【2024.九省联考】设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，，则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6.【2023.四省联考】若P,Q分别是拋物线与圆上的点,则的最小值为________. 7.【2021.八省联考】双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当时，. （1）求C的离心率； （2）若B在第一象限，证明：. 8.【2023.四省联考】已知双曲线过点，且焦距为10. (1)求C的方程； (2)已知点，，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点.证明：. 9.【2024.九省联考】已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点. （1）证明：直线过定点； （2）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值. 答案以及解析 1.答案：A 解析：由题意得，解得， 故选：A. 2.答案：C 解析：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点， 若是正三角形，则，即，即， 即有，则，解得. 故选：C. 3.答案：C 解析： 在椭圆中，，，.易知. 又，所以为等边三角形，即，所以，即. 故选：C. 4.答案：B 解析：在抛物线上，故，即，抛物线方程为， 设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线. 联立 ，得， 故，由得，故， 联立 ，得， 故，由得，故， 故，又由在抛物线上可知， 直线的斜率为 ， 故直线的方程为，即. 故选：B. 5.答案：D 解析：由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故选：D. 6.答案： 解析:设圆的圆心为,半径为,当PC垂直于抛物线在点P处的切线时,取得最小值,为,如图所示, 设点,则直线PC的斜率为,且, 由知,,所以过点P的切线的斜率为,因为直线PC与切线垂直,所以,所以,所以,即,因为恒成立,所以,即,此时,所以,即的最小值为.故答案为:. 7.答案：（1），则. （2）设，， 题设等价于证明，即， 由于， 则， 即证. 解析：（1）设双曲线的离心率为e，焦距为2c，， 在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则， 所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2； （2）因为e＝2，所以， 所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0）， kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝， tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF. 8.答案：(1) (2)证明见解析 解析：(1)由题意可得，， 故，， 所以C的方程为. (2)设，，， 当时，即，解得，则， 双曲线的渐近线方程为， 故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点， 此时直线方程为， 令，则，故. 则直线. 由得， 所以，. . 所以，所以 即. 9.答案：（1）证明见解析 （2）8 解析：（1）由，故，由直线与直线垂直， 故两条直线斜率都存在且不为0， 设直线、分别为、，有， 、、、， 联立与直线，即有， 消去x可得，， 故、， 则， 故，， 即，同理可得， 当时， 则， 即 ， 由，即， 故时，有， 此时过定点，且该定点为， 当时，即时，由，即时， 有，亦过定点， 故直线过定点，且该定点为； （2）由、、、， 则，由、， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故 ， 故， 过点G作轴，交直线于点Q，则， 由、， 故， 当且仅当时，等号成立， 下证： 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方， 有，由直线过定点， 此时， 同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方， 有，故此时， 当且仅当时，， 故恒成立，且时，等号成立， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$