专题16 正多边形与圆的有关的证明和计算（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）

专题16正多边形与圆的有关的证明和计算核心知识点精讲 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 考点一、正多边形和圆 1、正多边形的有关概念： (1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心. 　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径. 　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径） 　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2、正多边形与圆的关系： 　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. 　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆. 　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆. （4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3、正多边形性质： 　　(1)任何正多边形都有一个外接圆. 　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 要点诠释： （1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角. （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比. 考点二、圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式：，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【题型1：正多边形有关计算】 【典例1】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A．8 B． C． D．4 1．如图，正五边形内接于，是上一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正八边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点M．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时、点H坐标为，则与0的关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 3．周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（    ） A． B． C． D． 【题型2：正多边形与圆有关面积的计算】 【典例2】如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 1．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积_______（结果保留）． 2．如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为，点O为对角线交点，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，连接点O和的中点E，则图中阴影部分的面积为______．    【题型3：正多边形综合运用的计算】 【典例3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为_________（结果保留根号） 1．楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自