精品解析：湖北省武汉市武钢三中2024届高三下学期开学考试数学试题

数学试题（2024.02） 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分． 1. 数据的第15百分位数为（ ） A 69 B. 70 C. 75 D. 96 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（ ） A. B. C. 相互独立 D. 互斥 3. 已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）附：若，则， A. B. C. D. 7. 已知实数满足，记，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分． 9. 设是全集，定义， 对的真子集和，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 的最大值为 11. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分． 12. 已知集合，集合，则以集合为定义域，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答） 13. 已知复数满足，则的最小值为_______. 14. 已知椭圆：右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77.0分． 15. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式及其图象的对称轴方程； （2）若函数在上的零点为、，求的值． 16. 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． （1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值； （2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 17. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，. （1）任取一个零件，计算它是次品概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 18. 已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点． （1）当时，求四边形的面积； （2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由； （3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值． 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的