热点4-2 平面向量的数量积及应用（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点4-2 平面向量的数量积及应用 平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。本部分考题综合性较强，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几何模的研究比较透彻。考生在复习过程中，要重点理解向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，能灵活运用定义法、坐标法、基底法解决常见的数量积问题。 【题型1 平面向量的数量积运算】 满分技巧 求向量数量积的3种常规方法 1、定义法求平面向量的数量积：，其中是两个向量，的夹角；适用于已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；适用于直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。 3、坐标法求平面向量的数量积：，，则 适用于：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时。 【例1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 【变式1-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知向量，满足，，则（ ） A． B．2 C． D．4 【变式1-2】（2024·北京东城·高三统考期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·山东济南·高三统考期末）平行四边形ABCD中，，，，若，，则（ ） A．4 B．6 C．18 D．22 【变式1-4】（2024·陕西西安·高三西安中学校考期末）在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F.则 . 【题型2 平面向量的投影向量】 满分技巧 解决向量投影问题应注意以下3点 1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； 2、向量在方向上的投影向量为； 3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为 【例2】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·河南·高三校联考期末）已知平面向量满足，，，则在方向上的投影为（ ） A．5 B． C．10 D． 【变式2-2】（2024·河北·高三校联考期末）已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·江苏南京·高三金陵中学假期作业）在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的模长问题】 满分技巧 求向量的模或其范围的方法 1、定义法：，； 2、坐标法：设，则； 3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。 【例3】（2024·全国·高三校联考竞赛）平面向量，则（ ） A．3 B．5 C．7 D．11 【变式3-1】（2024·山西临汾·统考一模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A． B． C．3 D．7 【变式3-2】（2024·湖南长沙·统考一模）在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值