河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题

2024学年焦作市博爱一中高三(下)开学摸底考试 数 学 考生注意: 1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚; 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效; 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知x,,则“”是“”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 2.设,,,则( ). A. B. C. D. 3.已知直三棱柱,,,点为棱的中点,则四棱雉外接球的表面积是( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中,已知圆,若正方形的一边为圆的一条弦,则的最大值为( ) A. B. C. D.5 5.已知直线与圆相交于两点,点为圆上一动点,则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 6.如图,在正方体中,,,分别是,的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体,得到的截面图形的面积为( ) A. B. C. D. 7.已知函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( ) A. B. C. D. 8.为了解决化圆为方问题,古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”,若割圆曲线的方程为,,则( ) A.有最大值 B.有最小值 C.随的增大而增大 D.随的增大而减小 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分. 9.对于任意实数,表示为不超过的极大整数,如,,( ) A.若时,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 10.已知函数,则( ) A.图象的一条对称轴方程为 B.图象的一个对称中心为 C.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向下平移2个单位长度,可得到的图象 D.将的图象向右平移个单位长度,得到的曲线关于轴对称 11.已知双曲线的左、右焦点分别为、,过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形,且,则下列正确的是( ) A. B.双曲线的离心率为 C.矩形的面积为 D.双曲线的渐近线方程为 三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数在上的最大值为,若函数有个零点,则实数的取值范围为 . 13.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、,而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、,结果今天他迟到了,在此条件下,他自驾去上班的概率为 . 14.已知直线与圆相交于两点,且,则 . 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在中,角的对边分别为,. (1)求角; (2)若为钝角三角形,且,求的取值范围. 16.(15分)如图,在三棱锥中,,,. (1)求证:; (2)求二面角平面角的余弦值. 17.(15分)杭州第届亚运会,是继年北京亚运会、年广州亚运会之后,中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.年月日,杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间,主播为当晚点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这名观众中抽取名幸运观众,抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线,记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为(幸运观众总人数不重复计数,例如若某幸运观众两次都被抽中,但只记为人). (1)已知小杭是这前名观众中的一人,若小杭被抽中的概率为,求的值; (2)当取到最大值时,求的值. 18.(17分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点,求直线l与圆M的方程. 19.(17分)某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动,玩家每次抽卡需要花费10元,现有以下两种方案.方案一:没有保底机制,每次抽卡抽中新皮肤的概率为;方案二:每次抽卡抽中新皮肤的概率为,若连续99次未抽中,则第100次必中新皮肤.已知,玩家按照一、二两种方案进行抽卡,首次抽中新皮肤时的累计花费为X,Y(元). (1)求X,Y的分布列; (2)求; (3)若,根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.(参考数据:.) 参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 【解析】设,则, 令,所以函数在上单调递增. 当时,则,即,充分性成立; 当时