精品解析：湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

岳阳市一中2024届高三年级第七次质量检测 数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. i D. 3. “是与的等差中项”是“是与的等比中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在的展开式中，常数项为 A. B. C. D. 5. 四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若正数满足，则的值为（ ） A 36 B. 72 C. 108 D. 7. 在同一直角坐标系下，已知双曲线的离心率为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线，点，分别在双曲线的下支和曲线上，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 50 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A. 平均数 B. 平均数且标准差 C. 平均数且极差小于或等于2 D. 众数等于1且极差小于或等于4 10. 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是（ ） A. 是一个周期 B. 在上有个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 11. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 当时，越大，越小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处切线与直线平行，则_________. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则________． 14. 已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且，求. 16. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：. 17. 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=， （1）求证：直线AC⊥平面BDB1； （2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值. 18. 如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围． 19. 设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． （1）若，求； （2）若，求的最小值； （3）对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳阳市一中2024届高三年级第七次质量检测 数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和对数不等式从而解得集合，再求交集即可. 【详解】集合， 集合或， 故可得 故选：B. 2