精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024届高三寒假作业检测（月考六）数学试题

长郡中学2024年高三寒假作业检测试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 3. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 20 B. 23 C. 24 D. 28 4. 已知平面向量，满足，，并且当时，取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 7. 已知，，则（ ） A B. C. D. 8. 双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（ ） A. 24 B. 12 C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知 两点位于直线 两侧， 是直线 上两点， 且 面积是 的面积的 2 倍，若 ， 下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在 单调递减 C. 在 有且仅有两个零点 D. 是周期函数 11. 若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 一定为正数 B. 2是的一个周期 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 二项式的展开式中，的系数为______. 13. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据、、、、的平均数为______. 14. 已知椭圆：右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学校进行班级之间中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立. （1）比赛开始，求甲先得一分的概率； （2）求甲获胜的概率. 16. 已知函数． （1）若，求在区间上的最小值和最大值； （2）若，求证：在处取得极小值． 17. 如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD． （1）若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD//平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为？若存在，确定出M点位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率． （1）若． （ⅰ）求的渐近线方程； （ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，，，，求证：； （2）从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知是个正