题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧（标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧 （标准方程、轨迹方程、定点、定值、最值及范围） 技法01 求圆锥曲线的标准方程 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 技法03 圆锥曲线中的定点问题 技法04 圆锥曲线中的定值问题 技法05 圆锥曲线中的最值及范围问题 技法01 求圆锥曲线的标准方程 求圆锥曲线的标准方程常常在解答题第一问考查，需要大家掌握圆锥曲线的几何性质及其标准方程的相关计算，难度中等偏下，需重点练习. 知识迁移 椭圆的标准方程 焦点在轴上：，焦点在轴上： 双曲线的标准方程焦点在轴上： ，焦点在轴上： 抛物线的标准方程 焦点位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴 标准方程 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. （1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，所以双曲线方程为. 1．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 2．（2024·山西晋城·统考一模）已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，椭圆的焦点也是的顶点． (1)求的方程； (2)若，，三点均在上，且，直线，，的斜率均存在，证明：直线过定点（用，表示）． 3．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直. (1)求的标准方程； (2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由. 4．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 技法02 求圆锥曲线的轨迹方程 轨迹方程的相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习. 知识迁移 求轨迹方程的5种常用方法 1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。 2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 3 相关点法: 用动点 的坐标 表示相关点 的坐标 ，然后代入点 的坐标 所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知) 4 参数法: 当动点坐标 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 与某一变数 的关系，再消去参变数 ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 例2-1．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 设,则，两边同平方化简得，故. 例2-2．（重庆·高考真题）如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： （Ⅰ）求点P的轨迹方程; （Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值. 由双曲线的定义知点轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，因此半焦距，实半轴长，从而虚半轴长，双曲线方程为． 例2-3．（上海·高考真题）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A. 1．（全国·统考高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 2．（江苏·高考真题）已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为(　 　) A． B． C． D． 3．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，点到的距离比到的距离大2，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于两点，与点关于原点对称，求直线与斜率的比值. 4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知一动圆与圆外切，与