题型18 4类数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型18 4类数列综合 （数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 技法02 数列中的不等式放缩 技法03 数列中的参数求解 技法04 数列与三角函数综合 技法01 数列中不等式的证明 数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习. 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【详解】（1）由得，则当时，有， 两式相减得， 整理得，即， 因此数列是以为公比的等比数列． （2）由（1）及可得， 因此． 于是， 所以 ， 由于，所以， 故． 1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 2．（2023·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 技法02 数列中的不等式放缩 放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习. （1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如： （2），从而有： 注：对于还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。 （4） 可推广为： 例2．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【详解】（1）因为，   ① 当时，，  ②    ①②，得 ，所以，    又时，， 所以． （2）由（1）结合已知条件可得：． 当时，，，即成立．     当时，， 所以     综上，． 1．（2024·广东茂名·统考一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 2．（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列的前n项之积为，满足（）. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项之和为，证明：. 3．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，是与的等差中项． (1)求证：数列是等比数列； (2)证明：． 4．（2023·湖北·模拟预测）设对任意，数列满足，，数列满足． (1)证明：单调递增，且； (2)记，证明：存在常数，使得． 5．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 (2)求证：． 技法03 数列中的参数求解 对于此类含参数不等式愿型,大部分可以通过分离參数等方式转化为最值问题,对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断,数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏上、需强加练习. 例3．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得：， 当时，可得， 则， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得：，则， 可得，则， 两式相减得：， 所以， 因为，则， 原题意等价于关于的不等式恒成立，可得， 构建， 令，则，解得或3， 则，即当或时，取到最大值， 可得，所以实数的取值范围. 1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 2．（2024·云南曲靖·统考一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 3．（2024·全国·模拟预测）设，分别为数列，的前n项和，且． (1)若，，求数列的通项公式； (2)