题型09 8类导数大题综合（证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型09 8类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 技法01 利用导数证明不等式 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中等，是高考中的常考考点，需强加练习 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． （1） （2） （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 1．（全国·高考真题）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当，且时，． 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数. (1)讨论的极值； (2)当时，证明：. 技法02 利用导数研究恒成立问题 利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 例2．（2020·新高考二卷·高考真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 3．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 利用导数研究能成立（有解）问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习 例3．（全国·高考真题）设函数，曲线处的切线斜率为0 求b;若存在使得，求a的取值范围． 的定义域为，， （ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增， 所以，存在，使得的充要条件为，即， 所以. （ⅱ）若，则，故当时，； 当时，，在单调递减，在单调递增. 所以，存在，使得的充要条件为， 而，所以不合题意. （ⅲ）若，则. 综上，a的取值范围是. 1．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在，