2024年北京市十年数学中考三年模拟之几何原理探究

2024版北京十年中考三年模拟之几何原理探究 一．三角形内角和定理（共1小题） 1．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 二．三角形的外角性质（共1小题） 2．（2023•平谷区二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，△ABC，点D是BC延长线上一点． 求证：∠ACD＝∠A+∠B． 方法一：利用三角形的内角和定理进行证明 证明： 方法二：构造平行线进行证明 证明： 三．全等三角形的判定与性质（共6小题） 3．（2023•石景山区一模）下面是证明等腰三角形性质定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 等腰三角形性质定理的文字表述：等腰三角形的两个底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C． 方法一证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于D． 方法二证明：如图，取BC中点D，连接AD． 4．（2023•门头沟区一模）在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线AD有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明． 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C． 法一 证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D． 法二 证明：如图，取BC的中点D，连接AD． 5．（2023•房山区一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相 重合（简记为：三线合一） 方法一： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC． 求证：BD＝CD，AD⊥BC． 方法二： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点． 求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC． 方法三： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC． 求证：BD＝CD，∠BAD＝∠CAD． 6．（2023•海淀区一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． 求证：BC＝AB． 方法一 证明：如图，延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD． 方法二 证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD． 7．（2023•朝阳区一模）下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C． 方法一 证明：如图，作△ABC的中线AD． 方法二 证明：如图，作△ABC的角平分线AD． 8．（2023•丰台区一模）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示．你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程． 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 甲的方法： 证明：作∠BAC的平分线交BC于点D． 乙的方法： 证明：作AE⊥BC于点E． 丙的方法： 证明：取BC中点F，连接AF． 四．勾股定理的证明（共1小题） 9．（2023•大兴区一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c． 求证：a2+b2＝c2． 方法一 如图，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为c． 证明： 方法二 如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为（b﹣a）． 证明： 五．三角形中位线定理（共2小题） 10．（2023•东城区一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，且． 方法一 证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F． 方法二 证明：如图，延长DE到点F，使得EF＝D