山西省吕梁市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试题

吕梁市2023-2024学年度高三第一次模拟考试 数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 5. 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. D. 的周期为3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 记为函数图象上的任意两点，则 10. 已知函数部分图象如图所示，将函数的图象先关于轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，（与三点不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面平面 D. 当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 12. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ） A. 直线与蒙日圆相切 B. 椭圆的蒙日圆方程为 C. 若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4 D. 记点到直线的距离为，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中的系数为______．（用数字作答） 14. 某市2018年至2022年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代号 0 1 2 3 4 年销量 10 15 20 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，据此计算相应于样本点的残差为______． 15. 设各项均为正数的数列的前项和为，前项积为，若，则______． 16. 已知分别是函数和图象上动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 设的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）设的角平分线交于点，求的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，． （1）线段上是否存在一点使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由； （2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离． 20. 吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点