北京市陈经纶中学2023-2024学年高三下学期2月阶段性诊断练习数学试题

2023-2024高三数学2月阶段性诊断练习 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．若集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D．或 2. 已知复数（其中为虚数单位），则复数的点的坐标所在象限为（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 3. 已知为单位向量，且的夹角为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数,则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 5. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6．在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若数列为等比数列，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 9. 刘徽注《九章算术•商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体. 在如图二所示由正方体得到的堑堵中，当点P在下列三个位置：中点、中点、中点时，分别形成的四面体P﹣ABC中，鳖臑有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10. 对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时,都有；③当，且时，，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；；．则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 设一组数据，则数据的平均值为__________，30%分位数为________. 12. 函数的最小值为__________. 13. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是__________.A C B O x y 2 2 2 14. 已知A，B是抛物线上两点，若线段的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的方程可能是 ．（写出一个符合题意的方程） 15．定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的序号是 . 三、解答题（本题共6小题，满分85分） 16.（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中点，平面，，，，，点为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 17.（本小题满分13分） 已知函数(，). 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）设，求函数在上的单调递增区间. 条件①： 条件②：为偶函数 条件③：的最大值为1 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为 18.（本小题满分14分） 乒乓球运动在中国风靡，成为了中国的国球体育项目. 某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区活动. 活动共分3个批次进行，每批次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选. 已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验. （Ⅰ）求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； （Ⅱ）第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？说明理由； （Ⅲ）现在需要2名选手完成某项加赛，比赛方式为2名选手依次参赛，如果前一位选手不能获胜，则再派另一位选手. 若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且. 假设各人能否完成任务相互独立，则当派出选手的人员数目的数学期望达到最小时，直接写出A、两位选手的派遣顺序. 19.（本小题满分15分） 已知函数，. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，. 求证：当时，有且仅有两个不同的零点. 20.（本小题满分15分） 已知直线与椭圆相切，定点和原点的中点为椭圆右顶点. （Ⅰ）求椭圆方程及离心率； （Ⅱ）已知椭圆上第一象限内动点与第三象限内动点，定点，直线交于两点，若，求证：三点共线. 21.（本小题满分15分） 2023-2024高三数学2月阶段性诊断 3 / 5