专题03 转化的思想-2024年中考数学思想方法专项突破（全国通用）

专题03 转化的思想 目录 转化的思想 1 一、代数式中的转化思想 1 二、方程中的转化思想 7 三、几何中的转化思想 12 四、函数中的转化思想 23 转化思想是初中数学中一个非常重要的思想，它可以将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题。在初中数学中，转化思想的应用非常广泛，主要从以下几个方面进行讲解： 1. 代数式中的转化思想：在代数式中，我们经常需要通过变形、化简等手段，将复杂的式子转化为简单的式子。比如，对于分式，我们可以将其转化为乘法形式，对于多项式，我们可以将其因式分解或配方。 2. 方程中的转化思想：在解方程时，我们经常需要通过消元、降次、换元等手段，将复杂的方程转化为简单的方程。比如，对于二元一次方程组，我们可以采用消元法将其转化为一个一元一次方程。 3. 几何中的转化思想：在几何中，我们经常需要通过添加辅助线、构造辅助图形等手段，将复杂的问题转化为简单的问题。比如，在证明三角形全等的定理时，我们可以通过构造辅助线来证明两个三角形全等。 4. 函数中的转化思想：在函数中，我们经常需要通过变换函数形式、构造函数等手段，将复杂的问题转化为简单的问题。比如，在研究二次函数的性质时，我们可以将其转化为顶点式形式来研究其对称轴和最值。 综上所述，转化思想在初中数学中的应用非常广泛，它可以帮助我们更好地理解问题、解决问题。因此，在学习初中数学时，我们应该注重培养自己的转化思想，提高自己的数学思维能力。 一、代数式中的转化思想 思路分析：在代数式中，我们经常需要通过变形、化简等手段，将复杂的式子转化为简单的式子。比如，对于分式，我们可以将其转化为乘法形式，对于多项式，我们可以将其因式分解或配方。 典例精析： 1．阅读与思考 为了使学生更好地理解乘法公式，数学课上赵老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． 理解应用 （1）根据图2中图形的面积，可以得到一个乘法公式． ①请你直接写出这个公式 　　； ②上面分析过程主要运用的数学思想是 　　． ．转化思想 ．分类讨论 ．统计思想 ．数形结合 （2）小华模仿赵老师的做法用边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形，拼成如图3的图形，根据图3中图形的面积，写出将一个多项式因式分解的式子 　　． （3）若，，求的值． 2．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示　　，用含的代数式表示　　； ②据此直接写出的最小值 　　； （2）（类比应用）根据上述的方法，直接写出代数式的最小值是 　　． 3．【阅读理解】题目：若，求的值． 由观察，得与中的与互为相反数． 所以我们不妨设，． ， ． ， ． ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】（1）若，则　　． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为10，直接写出正方形和正方形的面积和． 二、方程中的转化思想 思路点拨：在解方程时，我们经常需要通过消元、降次、换元等手段，将复杂的方程转化为简单的方程。比如，对于二元一次方程组，我们可以采用消元法将其转化为一个一元一次方程。 典例精析： 1．解分式方程时，在方程两边同乘，把原方程化为：，这一变形过程体现的数学思想主要是　　 A．类比思想 B．转化思想 C．方程思想 D．函数思想 2．阅读材料：解方程 时，我们可以将视为一个整体，设，则 原方程化为．解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想．类比应用：运用上述方法解方程：． 3．（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有 　　是原无