专题02 数形结合的思想-2024年中考数学思想方法专项突破（全国通用）

专题02 数形结合的思想 目录 数形结合的思想 1 一、数形结合在解一元二次不等式中的应用 1 二、数形结合在求最值中的应用 6 三、方程中数形结合的应用 11 四、三角函数中数形结合的应用 13 五、数形结合在函数中的应用 13 数 形 结 合 思 想 的 运 用 贯 穿 于 整 个 初中数学阶段的学习 , 而数形结合思想又可以细分 为 “以形助数 ”“以数解形 ”和 “数形互化 ”三 个方面 , 本专题从这三个方面入手 , 结合精选例题深入剖析分析数形结合思想在初中数学教学中的运用 . 一、数形结合在解一元二次不等式中的应用 做题思路： 一元二次不等式往往可以转化为二次函数的图象来解决，首先把一元二次不等式化为一般形式，然后令，作出二次函数的图象，求出图象与坐标轴的交点，然后观察图象即可得出一元二次不等式的解集. 1.阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 　 　． （2）借助阅读材料直接写出一元二次不等式，的解集为 　　． （3）用类似的方法解一元二次不等式：． 2.请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 　　和 　　（只填序号）． ①转化思想； ②分类讨论思想； ③数形结合思想． （2）用类似的方法解一元二次不等式：． （3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是 　　；与的几组对应值如表，其中　　； 4 0 1 2 3 4 5 0 0 1 0 ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整； ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：． 3.已知关于x的方程 x2 - 2kx +3k- 2 = 0,求当方程有两个实数根时,k的取值范围 . 二、数形结合在求最值中的应用 解题思路：在求此类函数的最小值时， 可以看做点（x，0）到（0,4）和（2,1）的距离和最小. 典例精析 1．已知正实数，求的最小值． 2．【问题情境】如图1，已知点，在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 小军的思路是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求． 【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设与直线的交点为点，过点作，垂足为点．若，，，求出此时的最小值； （2）如图3，若，，，则此时的最小值为 　　； （3）【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值． 3．探究：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． （1）用含的代数式表示的值． （2）请问点满足什么条件时，的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． （4）仿照上面的方法，请用构图法求出代数式是任意实数）的最大值． 三、方程中数形结合的应用 1.关于的方程的两个相异实根均大于且小于3，那么的取值范围是 A． B． C．或 D． 2.已知方程有两个不同的实数根，方程也有两个不同的实数根，且其两根介于方程的两根之间，求的取值范围． 四、三角函数中数形结合的应用 1.已知，求证 五、数形结合在函数中的应用 1．求函数y=3x²+6x+9的图象的基本性质. 图 1 2.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点为抛物线第二象限上一动点，连接，，，求面积的最大值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$专题02 数形结合的思想 目录 数形结合的思想 1 一、数形结合在解一元二次不等式中的应用 1 二、数形结合在求最值中的应用 6 三、方程中数形结合的应用 11 四、三角函数中数形结合的应用 13 五、数形结合在函数中的应用 13 数 形 结 合 思 想 的 运 用 贯 穿 于 整 个 初中数学阶段的学习 , 而数形结合思想又可以细分 为 “以形助数 ”“以数解形 ”和 “数形互化 ”三 个方面 , 本专题从这三个方面入手 , 结合精选例题深入剖析分析数形结合思想在初中数学教学中的运用 . 一、数形结合在解一元二次不等式中的应用