专题04 整体的思想-2024年中考数学思想方法专项突破（全国通用）

专题04 整体的思想 目录 整体思想 1 一、数与式运算中的整体思想： 1 二、方程（组）或不等式（组）中的整体思想 12 整体思想是初中数学学习的重要思想方法，它通过研究问题的整体形式、整体结构和整体特征，利用“集成”的思想去解决问题。整体思想的利用能使问题变烦为简，变难为易，它主要表现为整体代入、整体加减、整体代换和整体联想等形式。在初中的数学学习中，数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用。 1. 数与式运算中的整体思想：在处理数学问题时，可以将某些式子或数字看作一个整体，通过整体代入、整体加减等方法简化问题。 2. 方程（组）或不等式（组）中的整体思想：在解方程或不等式时，可以将某个未知数用另一个未知数表示，然后将其代入原方程或不等式中，从而简化计算过程。 整体思想的应用需要在学习中不断积累和总结经验。同时，也要学会观察题目的结构和特点，善于运用整体思想解决问题。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、数与式运算中的整体思想： 思路分析： 在数与式的运算中，整体思想是一种重要的解题思路。整体思想的核心是将问题中的某些部分看作一个整体，通过整体代换、整体处理的方式简化问题。 整体思想在数与式的运算中有多种应用，以下是一些常见的思路： 1. 整体代换：当某些表达式在问题中重复出现或相互关联时，可以将它们整体代换为一个变量或表达式，从而简化问题。 2. 整体合并与拆分：在处理多项式或分式的运算时，可以将相似的项合并或拆分为更易于处理的表达式。 3. 整体构造：在解决某些问题时，可以通过整体构造的方式，将问题转化为一个更易于处理的形式。 4. 整体观察：在解决某些数列或数学问题时，通过整体观察可以发现规律或性质，从而简化问题。 5. 整体应用公式：在解决某些问题时，可以整体应用某些公式或定理，从而简化问题。 综上所述，整体思想是一种重要的解题思路，通过整体代换、整体合并与拆分、整体构造、整体观察和整体应用公式等方式，可以简化数与式的运算问题。 典例精析： 1．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（2a﹣b）2看成一个整体，合并3（2a﹣b）2﹣6（2a﹣b）2+5（2a﹣b）2＝　　； （2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值； 拓广探索： （3）已知a﹣5b＝3，5b﹣3c＝﹣5，3c﹣d＝10，求（a﹣3c）+（5b﹣d）﹣（5b﹣3c）的值． 2．【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，x2+x+3＝7则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+1的值为15，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值． （2）若x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为11，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值． 【拓展应用】 （3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1．求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 3．阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：5x﹣3x+2x＝（5﹣3+2）x＝4x，类似地，我们把（m+n）看成一个整体，则5（m+n）﹣3（m+n）+2（m+n）＝（5﹣3+2）（m+n）＝4（m+n）． 尝试应用： （1）把（m+n）2看成一个整体，合并4（m+n）2﹣5（m+n）2+3（m+n）2的结果是 　　； （2）已知x2+2y＝﹣9，求4x2+8y+18的值； 拓展探索： （3）已知a﹣b＝2，b﹣2c＝4，2c﹣d＝﹣1，求（a﹣2c）﹣（b﹣2c）﹣（b﹣d）的值． 4．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． ①；② 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题： （1）分解因式：． （2）分解因式：． 5．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数