专题04：导数及导数的应用-2024年新高考数学新题型试卷结构冲刺讲义

2024届新高考二轮复习第四讲：导数及导数的应用 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 题型一：导数的计算及几何意义 【典例例题】 例1.（2024春·湖北省）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【变式训练】 1.（2024春·新高考）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024春·安徽芜湖）若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 . 3．（2024春·重庆）已知定义在上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为 ．（结果用含的表达式表示） 4.（2024春·云南大理）（多选）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（    ） A．函数是奇函数 B．函数是减函数 C．对于实数，当时，函数有两个零点 D．曲线存在与直线垂直的切线 题型二：用导数研究函数的单调性 【典例例题】 例1.（2024春·安徽合肥）已知函数. (1)若，分析的单调性； (2)若，证明：在，内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数. 【变式训练】 1.（2024春·山东枣庄）（多选）已知定义在上的连续函数，其导函数为，且，函数为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024春·全国新高考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，． （ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C； （ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由． 附：，． 3.（2024春·陕西西安）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，对，不等式恒成立． 题型三：函数的极值和最值 【典例例题】 例1.（2024春·广东省）已知函数有极值点 (Ⅰ)求函数的单调区间及的取值范围； (Ⅱ)若函数有两个极值点，且求的值. 【变式训练】 1.（2024春·黑龙江哈尔滨）已知函数 的定义域为，且满足，在 处取极值，则下列说法中正确的是 （    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在处取极小值 D．的最大值为4 2.（2024春·湖北武汉）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：． 3.（2024春·江西赣州）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 4．（2024春·河北衡水）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 题型四：导数的新颖题型 【典例例题】 例1.（2024春新高考）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“3类函数”； (2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，. 【变式训练】 1．（2024春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点. (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数. 2.（2024春·浙江宁波）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 1、 单项选择 1．（2024春·江苏常州）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2.（2024春·江西省）设、、满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题 3．（2024春·陕西）已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为 ． ①若，则函数在处的切线方程为；②