专题39 抛物线中的的定点、定值、定直线问题-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题39 抛物线中的的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．已知抛物线上两点A、B满足（O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（       ） A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0） 2．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（    ） A． B． C． D． 3．设点为抛物线的焦点，，，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一象限），则对角线所在的直线方程为 A． B． C． D． 4．已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 6．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点（    ）    A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，圆，过作直线，与上述两曲线自上而下依次交于点，当时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是 A．为定值 B．为定值 C．点的轨迹为圆的一部分 D．点的轨迹是圆的一部分 二、多选题 9．已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值（、分别为直线、的斜率） D．为定值（为抛物线的焦点） 10．已知为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，过点分别向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若直线过焦点，则以为直径的圆与轴相切 B．若直线过焦点，则 C．若两点的纵坐标之积为，则直线过定点 D．若，则直线恒过点 11．如图，已知椭圆: ,过抛物线: 的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交于A、B两点，连接AB，与 的面积分别记为、 ，则在下列结论中正确的为（    ） A．若记直线NO，MO的斜率分别为 则 的大小是定值 B．的面积 是定值 C．设   则 D．为定值5 三、填空题 12．已知抛物线，焦点是，为抛物线上一动点，以为直径的圆与定直线相切，则直线的方程为 ． 13．过点向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，直线恒过的定点为 . 14．已知抛物线，在轴正半轴上存在一点，使过的任意直线交抛物线于，都有为定值，则点的坐标为 ． 四、解答题 15．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点． 16．已知点是抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线交于两点，交于两点.求证：为定值. 17．已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 18．已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)求证：直线过定点； (3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，线段长度的最小值为. (1)求的方程； (2)过点作一条直线，交于，两点，试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题39 抛物线中的的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．已知抛物线上两点A、B满足（O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（       ） A．（5，0） B．（1，0） C．（3，0） D．（2，0） 【解析】设，，则：. 即，又因为，解得（舍）或， 则直线过点，故选：A. 2．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（    ） A． B． C． D． 【解析】如图， 分别设四点横坐标为， 由得焦点，准线，由定义得，，又， 所以，同理： 由消去y整理得， 设，则，即.故选：A 3．设点为抛物线的焦点，，，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线（点在第一