专题38 双曲线中的的定点、定值、定直线问题-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题38 双曲线中的的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．已知为双曲线：上的任意一点，过点作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于，两点，若，则，两点的横坐标之积为（    ） A．2 B．4 C． D．9 2．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（    ） A． B． C． D．3 3．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ） A．k1＋k2 B．|k1－k2| C．k1k2 D． 4．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为 A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化 5．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为 ，则 (     ) A．-4 B． C．4 D．6 7．双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（    ） A． B． C． D． 8．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 二、多选题 9．已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（） A． B． C． D．的最大值为 10．已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（    ） A．双曲线的标准方程为 B．若直线的斜率为2，则 C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点 D．直线过定点 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆圆心为M，半径为，的内切圆圆心为N，半径为，则下列结论正确的是（     ） A．直线垂直于x轴 B．周长为定值 C．与之和为定值 D．与之积为定值 三、填空题 12．已知直线：（）与双曲线：交于，两点，轴于点，直线与双曲线的另一个交点为，则 . 13．已知双曲线的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 14．给出下列命题： ①直线的倾斜角是； ②已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则有； ③已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则的内心始终在一条直线上． 其中所有正确命题的序号为 ． 四、解答题 15．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程. (2)过点的直线与交于不同的两点A，B，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 16．双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 17．已知动圆过点并且与圆：相外切，动圆圆心的轨迹为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于两点，设直线：，设点,直线交于，求证：直线经过定点． 18．已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值． 19．已知双曲线的渐近线方程为，点在上． (1)求的方程． (2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题38 双曲线中的的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．已知为双曲线：上的任意一点，过点作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于，两点，若，则，两点的横坐标之积为（    ） A．2 B．4 C． D．9 【解析】依题意可得双曲线渐近线方程为，设，，， 因为，所以有，即，又， 所以，所以， 因为点在双曲线上，所以，解得