专题37 椭圆中的的定点、定值、定直线问题-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题37 椭圆中的的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（    ） A． B． C． D． 4．“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（    ） A． B． C． D． 5．如图，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则（   ） A．14 B．12 C．9 D．7 6．已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（          ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且位于第一象限，为坐标原点，若线段的中点满足，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 9．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 10．已知的左右顶点为为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为与的另一个交点为.则的方程为（    ）直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在使得 B．的最小值为 C．直线与直线斜率乘积为定值 D．，则的面积为9 三、填空题 12．已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 13．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 14．已知椭圆，一组平行直线的斜率为，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为 . 四、解答题 15．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 16．已知椭圆，离心率，过点． (1)求的方程； (2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明． 17．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． (1)求椭圆的方程； (2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 18．已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点． 19．已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题37 椭圆中的的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意知椭圆C：的离心率为，即， 设，则，又， 故， 又，故，故选：C 2．已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则，， 则，故，同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：，需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时