专题42 圆锥曲线中的轨迹问题-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题42 圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 2．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 3．与圆：和圆：都外切的动圆圆心的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 4．在棱长为1的正方体中，是的中点，点在侧面所在的平面上运动.现有下列命题： ①若点总保持，则动点的轨迹是直线； ②若点到点A的距离为，则动点的轨迹是圆； ③若点到点与点的距离比为2：1，则动点的轨迹是圆； ④若点到直线与直线的距离比为2：1，则动点的轨迹是椭圆. 其中真命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线，且，均与垂直．若动点M到的距离的乘积是M到的距离的平方的4倍，则动点M在直线之间（含边界）的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．已知是平面内两个不同的定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为，若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的个数为（    ） （1）若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为圆； （2）若三棱柱的侧面积为定值，则动点所在的轨迹为椭圆； （3）若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线； （4）若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ） A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 二、多选题 9．若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 10．已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在长方体中，，，为中点，为矩形内的动点包括边界，且，则（ ） A．点的轨迹为椭圆的一部分 B．点的轨迹为圆的一部分 C．点的轨迹与，所围成的图形面积为 D．点的轨迹长度为 三、填空题 12．已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是 ； 13．设定点 ，动点N在圆上运动，以 为邻边作平行四边形 ，求点P的轨迹为 . 14．已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 16．已知定点为动点，以为直径的圆和轴相切.记动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)若过的直线与相交于两点，与圆相交于两点，且在轴上方，，求的方程. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，P为平面内一动点，记直线的斜率为k，直线的斜率为，且，记动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 18．在平面直角坐标系中，，，为平面内一点，在三角形中，，记的轨迹为轨迹． (1)求轨迹的方程． (2)若直线的斜率大于0，且截轨迹的弦长为，且为钝角，若交轴于点，求的值． 19．已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为. (1)求双曲线的标准方程； (2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题42 圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 【解析】设椭圆的右焦点为，由题意，知，， 又，所以， 故