重难点3-2 解三角形的综合应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点3-2 解三角形的综合应用 解三角形一直是高考数学中的热门考点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。 【题型1 四边形中的解三角形问题】 满分技巧 四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，有时还需结合三角恒等变换。 【例1】（2024·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且. （1）求钝角的大小； （2）若，求的大小. 【变式1-1】（2024·云南昆明·统考一模）在中，，，. （1）求的面积； （2）如图，，，求. 【变式1-2】（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角， （1）求和； （2）若，求四边形的面积． 【变式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形中，为的中点，，，， （1）求； （2）若，，求. 【题型2 解三角形中的中线应用】 满分技巧 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【例2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）在中，角，，对应的边分别为，，且. （1）求角； （2），，点在上，，求的长. 【变式2-1】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在中，内角所对应的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若，且，求边的中线长． 【变式2-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，BC边上的中线，求的面积． 【变式2-3】（2024·重庆·统考一模）在梯形中，为钝角，，． （1）求； （2）设点为的中点，求的长． 【变式2-4】（2024·全国·高三专题练习）在中，． （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长． 条件①：的面积为；条件②：；条件③：． 【题型3 解三角形中的垂线应用】 满分技巧 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C满足． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 【变式3-1】（2024·福建·高三校联考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长． 【变式3-2】（2024·江苏常州·高三统考期末）记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【变式3-3】（2024·江西赣州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）证明：； （2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状． 【变式3-4】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，过点A作，使得四边形ABCD满足，． （1）求角的大小； （2）若，求四边形的面积． 【题型4 解三角形中的角平分线应用】 满分技巧 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式） 【例4】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）在中，. （1）求； （2）若，点在边上，平分，求的长. 【变式4-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求角A； （2）作角A的平分线与交于点，且，求. 【变式4-2】（2024·山东济南·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）求B， （2）的平分线交边于点D，且，求b． 【变式4-3】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在中，已知. （1）求的长； （2）若的平分线交点，求的最大值. 【变式4-4】（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    （1）求的大小; （2）若,求的面积. 【题型5 解三角形中的等分点应用】