热点4-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点4-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理 平面向量属于高考的必考内容。纵观近几年的高考情况，主要以选择题及填空题的形式出现，向量的线性运算、基本定理以及坐标运算属于热门考点。同时也作为工具，与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。预计2024年的高考对于这部分内容考察主要还是以小题为主，若出题大概率以题的形式出现。 【题型1 平面向量的基本概念辨析】 满分技巧 解决向量概念问题的关键点 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 【例1】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【变式1-2】（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ） A．若，则 B．若与共线，则或 C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【变式1-3】（2023·重庆沙坪坝·高三南开中学校考阶段练习）（多选）已知非零向量，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．与向量共线的单位向量是 C．“”是“与的夹角是锐角”的充分不必要条件 D．若是平面的一组基底，则也能作为该平面的一组基底 【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．的充要条件是且 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【题型2 平面向量的线性运算】 满分技巧 1、平面四边形法则：平行四边形的对角线分别是两向量的和与差； 2、三角形法则：两箭头间向量是差，箭头与箭尾向量是和； 3、平面向量多边形法则：一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 【例2】（2023·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）如图，在中，，，若，则的值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式2-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）如图是一个正六边形，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【变式2-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）在平行四边形中，为对角线上靠近点的三等分点，延长交于，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ） A．7 B．6 C．3 D．2 【题型3 平面向量共线定理及应用】 满分技巧 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 【例3】（2022·四川绵阳·统考二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（ ） A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【变式3-1】（2023·陕西铜川·高三校考期末）在中，若，则点（ ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D