2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西专用）专题二十二特殊平行四边形

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第五章 四边形 专题二十二 特殊四边形 一、考点精讲 （一）、菱形： 1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是 对角线的交点 。 3.菱形的判定： （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形； （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4.菱形的有关计算： （1）周长C菱形=4a (其中a为边长)； （2）面积S菱形=ah=两条对角线乘积的一半；(其中a为边长，h为此边上的高)。 （二）、矩形： 1.矩形的概念：有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形； 2.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等； （4）矩形既是轴对称图形，它有两条对称轴； 又是中心对称图形，它的对称中心是 对角线的交点 。 3.矩形的判定： （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 4.矩形的有关计算： （1）周长C矩形=2(a+b) (其中a为长，b为宽)； （2）面积S矩形=长×宽=ab (其中a为长，b为宽)。 （三）、正方形： 1.正方形的概念： （1）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形； （2）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴，又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3.正方形的判定： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证有一个角是直角。 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： ①先证明它是平行四边形； ②再证明它是菱形(或矩形)； ③最后证明它是矩形(或菱形)。 4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=。 （四）、 中点四边形 （1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题主要考查菱形、矩形、正方形的有关证明与计算，菱形周长与面积，矩形的折叠及相关计算，正方形的平移旋转，在命题点下拓展其他新的考查形式。形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年九考(常与全等三角形、尺规作图、相似三角形、图形变化，勾股定理等其他知识结合考查)，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，设置条件开放，结论开放、解题策略的开放等试题，注重学生思维认知能力的考查。（综合实践探究另外讲解） 命题点1.矩形的有关证明与计算 1．（2017·山西·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2017·山西·中考真题）右图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 命题点二、菱形的有关证明与计算 3.（2019·山西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为 . 命题点3.矩形的有关证明 4.（2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， (2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 命题点4.正方形的有关