2024年中考数学重点专题：图形综合

2024年中考重点专题：图形综合 1．如图，在▱ 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 . （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长. 2．如图，在和中，，，，连接BD，CE． （1）求证：． （2）若，求的度数． 3．如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E． （1）如图1，求证：∠DAB＝∠CDE； （2）如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长； （3）如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值； （4）如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD＋DE的值（用含r的代数式表示） 4．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB． （1）按要求尺规作图：作AD的垂直平分线(保留作图痕迹）； （2）若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点． ①求证：BC是⊙O的切线；②若 ，求⊙O的半径． 5．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长． 6．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC=CE，连结DE． （1）求证：四边形ACED是矩形． （2）若BC=3，AB=5，求BD的长． 7．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． （1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为　 　形． （2）纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． （3）如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 8．问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长. 答案：. 探究： （1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变. ①当点E与点F重合时，求AB的长； ②当点E与点C重合时，求EF的长. （2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值. 9．如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，当点P不与点A重合时，连结AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连结PQ，设与长方形ABCD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为. （1）当点Q与点D重合时，求t的值； （2）当点P与点B重合时，求DQ的长； （3）当点C在外部时，求S与t之间的函数关系式； （4）若长方形ABCD被直线PQ分得的两部分能拼成一个与其面积相等的四边形，且该四边形只是轴对称图形，直接写出t的取值范围及这个轴对称图形的最长边的长. 10．在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接AB，以AB为腰作等腰． （1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，求点A和点B的坐标； （2）如图2，点B在x轴负半轴上，AC交x轴于点D，若BD平分，且点C的纵坐标是，求线段BD的长； （3）如图3，点B在x轴正半轴上，以BC为边在BC左侧作等边，连接EO，CO，若，且，求的面积． 11．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G. （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求CF的长； （3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由. 12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y． （1）证明△AMF是等腰三角形； （2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值； （3）将y表示成x的函数，并求y的最大值． 13．如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）