专题6.4 空间向量求距离及夹角（八个重难点突破）-2023-2024学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.4空间向量求距离及夹角 知识点1利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点2利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 重难点01求点线距离 【例1】已知直线过点和点，则点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【例2】如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. (1)若，求证： ； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 【变式1-1】在棱长为1的正方体中，点B到的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，正方体的棱长为是的中点，则点到直线的距离为 . 重难点02求点面距离 【例3】已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【例4】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点分别为的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【变式2-1】在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-2】如图，是边长为4的正方形，平面，，且． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 重难点03两异面直线所成角（定值或求参） 【例5】在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【例6】如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 【变式3-1】如图，在正三棱柱与四棱锥组成的组合体中，底面恰好是边长为2的菱形，且． (1)求证：； (2)设是的中点，求直线与直线所成角的余弦值． 【变式3-2】如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别为、的中点．    (1)求证：平面： (2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值． 【变式3-3】如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 重难点04求两异面直线所成角(最值或范围) 【例7】在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【例8】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到直线的距离的最小值为 C．向量与夹角的取值范围是 D．若线段的中点为，当时，点的轨迹为线段 【变式4-1】正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（多选）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G，使得平面EFG C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 【变式4-3】（多选）在表面积为的球O的球面上存在A，B，C三点，且，，E为线段OC的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与成角余弦值的最小值为 C．若点O到平面的距离为，则异面直线与间的距离为 D．若点O到平面的距离为，则三棱锥外接球的表面积与球O表面积之比为 重难点05直线与平面所成角（定值或求参） 【例9】如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为等边三角形，点在上，，点为线段的中点，点O为三角形的重心．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【例10】如图，在四棱锥中，底面是菱形，其对角线与交于点，，. (1)证明：平面； (2)