专题01 空间向量的概念及其运算、空间向量法求空间角与空间距离七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题01 空间向量的概念及其运算、空间向量法求空间角与空间距离七种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、空间向量的基本概念及其运算……………………………………………3 类型二、空间向量求异面直线所成角………………………………………………8 类型三、空间向量求线面角 11 类型四、空间向量求二面角 16 类型五、空间向量求空间距离 20 类型六、空间线面位置关系的判定 26 类型七、范围与最值问题 29 压轴能力测评（10题） 33 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 （1）两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，若，则称与互相垂直，记作. （2）两向量的数量积：非零向量，的数量积． （3）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. （4）空间向量相关运算的坐标表示 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 3．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 4． 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 5． 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 6． 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 7． 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 8． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 9.利用空间向量求空间距离 ①点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． ②点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为. ③线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 类型一、空间向量的基本概念及其运算 例．（1）已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为 . 故选：D （2）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在平行六面体中，， 所以. 故选：A. （3）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 【变式训练1】（多选）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. 存在不全为零的实数，，，使得 B. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 C. 在中，能与，构成空间另一个基底的只有 D. 存在另一个基底，使得 【答案】BCD 【解析】对于A，假设存在不全为零的实数x，y，z，使得，不妨令， 则，此时共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，A不正确； 对于B，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，B正确； 对于C，因为，，即都不能与，构成空间另一个基底， 设，若，则，有， 即与，构成空间另一个基底，则在中，能与，构成空间另一个基底的只有，C正确； 对于D，由向量运算的几何意义知，在平行六面体中，令，则，如图， 将平行六面体绕对角线旋转，则基底变为另一基底，可以有成立 ， 则存在另一个基底，使得，D正确． 故选：BCD 【变式训练2】平行六面体 中，，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 【变式训练3】如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 类型二、空间向量求异面直线所成角 例．已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 【变式训练1】已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 【变式训练2】直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A 【变式训练3】已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 类型三、空间向量求线面角 例．在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式训练1】如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． 当是线段中点时，求与平面所成角的正弦值； 【答案】 【解析】因为平面，平面， 所以，，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则，可得，又， 所以与平面所成角的正弦值为． 【变式训练2】在空间几何体中，四边形均为直角梯形，，． 如图，若，求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】 【解析】因为，，即，，， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练3】如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上. 点F为棱上一点，满足，在棱上存在一点Q，若直线与平面所成的角为，则求出的值 【答案】 【解析】连接，为等边三角形，H为线段的中点，， 又平面，则，，两两垂直， 以H为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，， 令，可得. 设，，. ， 因为直线与平面所成的角为， ， 整理得：，解得或（舍去）. 所以，则. 所以当时，与平面所成的角为. 类型四、空间向量求二面角 例．如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． 若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】 【解析】因为平面，平面， 所以，，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为为的中点，则、、、， 设点，其中，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 又，，平面，， 所以平面， 易知平面的一个法向量为， 由已知可得，解得， 此时点为的中点，故． 【变式训练1】如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. 求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【答案】. 【解析】连接，在菱形中，由，得， 由点为的中点，得，而，则， 又平面，平面，于是，又，平面， 所以平面. 直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的法向量为， 则，令，得， ，设平面法向量， 则，令，得，设平面与平面所成的角为， 则，因此， 所以平面与平面所成的角的正弦值为. 【变式训练2】如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，，， ∴，， ∴， ∴. （2），， 设平面的法向量为，则 ， 取. 取平面的法向量为， 所以，，， 设二面角的平面角为， . ∴由图可知二面角的余弦值为 类型五、空间向量求空间距离 例．（1）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，．若顶点到平面的距离为1，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为_____． 【答案】 【解析】以为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．所以，，． 设平面的一个法向量为， 由题意得，解得， 所以顶点到平面的距离是． 故答案为： （2）（多选）在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与共面 B. 与夹角为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 若正方体棱长为2，则到直线的距离 【答案】ACD 【解析】对于A，由于，而与显然是共面向量，所以与共面，故A正确； 对于B， 因为，所以异面直线与所成的角就是， 而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形， 所以，即与夹角为，故B错误； 对于C， 如图建系：设正方体的边长为，可知：，，， 则设平面的法向量为 则，令，则， 即 而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量 则， 即， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确； 对于D， 过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点， 由正方体可知平面，因为平面， 所以，因为正方体棱长为，所以，， 则由勾股定理得：， 解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为， 即点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ACD. 【变式训练1】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】 【解析】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取， 则有， 即点到平面的距离为. 【变式训练2】如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）取的中点，连接，在直角梯形中，， 则四边形为正方形，所以， 在等腰直角三角形 中，， 为等腰直角三角形，而，故， 则有，所以， 因为平面平面平面平面，平面 ， 所以平面，又平面，所以， 又因为，直线有公共点，平面 所以平面又平面得； （2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 点P到平面的距离为， 解得，此时，， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值； 类型六、空间线面位置关系的判定 例．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【解析】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 【变式训练1】给出下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C. 直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】B 【解析】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线， 则不成立，故A错误； 对于B，运用四点共面定理推论可知B正确； 对于C，，则，则，故C错误； 对于D，向量是平面的法向量，则，， 即，，又，， 得且，解得，，则，故D错误. 故选：B. 【变式训练2】在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】A 【解析】在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 类型七、范围与最值问题 例．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 故选：B 【变式训练1】设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以， 因为，所以为的中点， 设，在直角中，有，故， 所以， 则， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为， 因此的最小值为.    故选：A. 【变式训练2】（多选）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3 【答案】BD 【解析】如图建立空间直角坐标系，则， 故，， 对于A，所以，A错误； 对于B，记异面直线与所成角为，则， 所以，故B正确. 对于C，记同向的单位向量为， 则点P到直线的距离，故C错误； 对于D，设点，使，， 则，故， 则， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故D项正确； 故选：BD. 1．设，，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解析】由， 由，. 所以. 故选：D 2．如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于， 所以 所以 . 故选：D 3．已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】因为， 且四点共面， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为. 故选：D. 4．已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于AB，设直线与平面所成的角为，则 ， 因为，所以， 由最小角定理得， 当时，，所以A错误， 当时，，所以B错误， 对于CD，设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面所成的角为，则 ， 由最大角定理得， 当时，，所以C正确， 当时，，所以D错误， 故选：C． 5．（多选）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（ ） A. ． B. C 若，则向量共面 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 6．（多选）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】BCD 【解析】A.如图建立空间直角坐标系，，，， ，， ， 整理为，解得：或，都舍去， 所以不存在点F使，故A错误； B. 如图，取的中点，连结，因为点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，且，所以，平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面 C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，， 所以，，， ，, 所以，，且，平面， 所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确； D.若点在棱上运动，设，， ，, 则点到距离， 当时，的最小值为，故D正确. 故选：BCD 7．如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】 【解析】如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系， 则 由，，可知为二面角的平面角， 又，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 其中，， 当且仅当，即时，取得最大值, 则的最大值为. 故答案为： 8.在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】因为， 则， 所以 ，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，， 所以即为二面角的平面角， 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 9．已知四棱锥为的中点，平面，. （1）若，证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）证明：且为的中点，， 平面平面， 又且平面平面， 平面， 与共面，， 又平面平面， 平面. （2） 如图，以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系.则， 设，则， ， 设面的法向量为， 由，令，可得 设面的法向量为，由，令，可得. 设二面角的大小为，则， . 10. 已知三棱柱的棱长均为. （1）证明：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量的概念及其运算、空间向量法求空间角与空间距离七种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、空间向量的基本概念及其运算……………………………………………3 类型二、空间向量求异面直线所成角………………………………………………8 类型三、空间向量求线面角 11 类型四、空间向量求二面角 16 类型五、空间向量求空间距离 20 类型六、空间线面位置关系的判定 26 类型七、范围与最值问题 29 压轴能力测评（10题） 33 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 （1）两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，若，则称与互相垂直，记作. （2）两向量的数量积：非零向量，的数量积． （3）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. （4）空间向量相关运算的坐标表示 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 3．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 4． 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 5． 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 6． 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 7． 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 8． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 9.利用空间向量求空间距离 ①点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． ②点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为. ③线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 类型一、空间向量的基本概念及其运算 例．（1）已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． （2）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． （3）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. 存在不全为零的实数，，，使得 B. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 C. 在中，能与，构成空间另一个基底的只有 D. 存在另一个基底，使得 【变式训练2】平行六面体 中，，， 则（ ） A. B. C. D. 【变式训练3】如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A． B． C． D． 类型二、空间向量求异面直线所成角 例．已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（ ） A．1 B． C． D． 【变式训练3】已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 类型三、空间向量求线面角 例．在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【变式训练1】如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． 当是线段中点时，求与平面所成角的正弦值； 【变式训练2】在空间几何体中，四边形均为直角梯形，，． 如图，若，求直线与平面所成角的正弦值； 【变式训练3】如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上. 点F为棱上一点，满足，在棱上存在一点Q，若直线与平面所成的角为，则求出的值 类型四、空间向量求二面角 例．如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． 若二面角的余弦值为，求的值． 【变式训练1】如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. 求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【变式训练2】如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 类型五、空间向量求空间距离 例．（1）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，．若顶点到平面的距离为1，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为_____． （2）（多选）在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与共面 B. 与夹角为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 若正方体棱长为2，则到直线的距离 【变式训练1】已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【变式训练2】如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求直线与平面所成角的正弦值； 类型六、空间线面位置关系的判定 例．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【变式训练1】给出下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C. 直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【变式训练2】在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 类型七、范围与最值问题 例．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3 1．设，，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 2．如图，在棱长均相等的四面体中，点为的中点，，设，则（　　） A. B. C. D. 3．已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（ ） A. B. C. D. 5．（多选）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（ ） A. ． B. C 若，则向量共面 D. 若，则 6．（多选）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 7．如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 8.在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是_____________. 9．已知四棱锥为的中点，平面，. （1）若，证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求. 10. 已知三棱柱的棱长均为. （1）证明：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$