6.3.4 第1课时 空间距离的计算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

　　　　　　 6.3.4　空间距离的计算 第1课时　空间距离的计算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.体会向量方法在解决几何问题中的作用. 1.点到平面的距离 若P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,点P到平面α的距离d=. 2.点到直线的距离 (1)若P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d=. (2)设e是直线l的方向向量,则点P到直线l的距离为d=||sin<,e>. 基础落实训练 1.已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为 (　　) A.2 B. C.4 D. 解析:选B　由题意可得,=(2,-1,0),=(0,-1,2),所以点A到直线BC的距离为==. 2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　依题意,=(0,1,2),又a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===. 3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),所以=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=1,z=,则n=,所以d==,故选C. 题型(一)　点到直线的距离 [例1]　如图,已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离. 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0).直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d ===. |思|维|建|模| 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. [针对训练] 1.如图,在长方体ABCD⁃A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离. 解:连接D'M,建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3), B'(2,1,3),=(-1,0,3),=(2,1,0), 所以点M到直线B'D'的距离为 ==. 题型(二)　点到平面的距离 [例2]　如图,P,O分别是正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=AA1=2. (1)求平面PBC的法向量; (2)求点O到平面PBC的距离. 解:(1)因为P,O分别是正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为AB=AA1=2,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2, 所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2), 所以=(0,2,-2),=(-2,0,-2). 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则⇒ 取z=1,则x=-1,y=1, 所以m=(-1,1,1), 所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1). (2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又=(0,2,0), 所以点O到平面PBC的距离 d===, 所以点O到平面PBC的距离为. |思|维|建|模| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. [针对训练] 2.如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离. 解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD, OA⊂平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC⊂平面BCD,所以OA⊥OC,则OA,OC,OD两两相互垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则故可设n=(1,-1,1), 所以点D到平面ABC的距离为==. 题型(三)　线面距与面面距 [例3]　如图,在四棱锥O⁃ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求: (1)直线MN与平面OCD的距离; (2)平面MNR与平面OCD的距离. 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0), 因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD, 因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD, 所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD, 因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD, 因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD, 设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),则 取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1===. (2)因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===. |思|维|建|模| 　　用向量法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量; (2)选择参考向量; (3)利用公式求解. [针对训练] 3.如图,在直棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离. 解:∵A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离. 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,∴B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,-,1).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), 则即∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1). ∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离, ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $