江苏省南京市六校2024届高三下学期期初联合调研数学试题

2023-2024学年第二学期期初联合调研试题 高三数学 2024.2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则复数z对应点位于第（      ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2. 在数列中，已知，则的前11项的和为（     ） A．2045 B．2046 C．4093 D．4094 3. 已知平面向量，，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 4. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（     ） A． B． C． D． 5. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（     ） A．300 B．360 C．390 D．420 6. 已知 则（     ） A． B． C． D． 7. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西的方向上，树梢D的仰角为，则红豆树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左，右两支分别交于A，B两点，以双曲线右焦点为圆心的圆经过A，B，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据的平均数为，则数据（     ） A．与原数据的极差相同 B．与原数据的众数相同 C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同 10. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（     ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到. 11. 如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（     ） A．不存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的系数为80，则m的值为． 13. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为． 14. 已知实数m，n满足，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 16．（15分）扬州某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：mg）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，. (1)求关于的经验回归方程； (2)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立. ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率. 参考公式：，. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，上的点，且.  (1)证明：平面； (2)若平面，为的中点，，，求二面角的正切值. 18． （17分）已知， ，动点Z满足. （1）求动点Z的轨迹曲线的标准方程； （2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是，且. （i）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上； （ii）证明：. 19．（17分）设数列满足，其中，且，为常数. （1）若是等差数列，且公差，求的值； （2）若，且存在，使得对任意的