第一单元知识点及常见题型讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一单元 元素：研究对象 集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素. 怎样判断对象能否构成集合呢？ 是否有一个明确的标准 元素三要素 1.确定性2.互异性3.无序性 元素与集合关系 属于 ∈ a∈A 不属于 ∉ b ∉A 集合 自然数集 N 正整数集 N* 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 列举法：把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来，元素之间用逗号。表示集合的方法叫做列举法. 描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合一般形式：｛x|P(X)｝,P(X)为共同属性 子集的定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），则称集合A为集合B的子集. 记为A⊆B或B⊇A 子集的性质： ①子集的传递性②任何一个集合是它本身的子集③空集是任何集合的子集 一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个 真子集 对于两个集合A与B，如果A ⊆ B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集。读着“A真包含于B，B真包含A”，记作A⫋B,或B⊉A (1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素不是A的元素； (2)子集包括真子集和相等两种情况； (3)空集∅是任何非空集合的真子集 (4)一般地，集合A含有n个元素，则A的真子集共有2n－1个. 等集：对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B。如果A⊆B，同时B⊆A，那么A＝B。 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集记作：A∪B（读作：“A并B”） 即： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B} 注: 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）连续实数集合的并集，利用数轴求解 交集： 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集记作：A∩B（读作：“A交B”） 即： A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B} 并集的性质 1 Aᴜ A=A ② AᴜФ=A ③A ∪ B=B∪A ④A⊆A∪B, B⊆A∪B ⑤A⊆B 则A∪B=B 全集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U 补集：对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集. 记作：CᵤA 即CᵤA=｛x|x∈U且x∉ A} 说明：补集的概念必须要有全集的限制． 补集的性质 ①CᵤAUA=U ② CᵤA∩A=Ф ③ CᵤU=Ф, CᵤФ=U ④Cᵤ(CᵤA)=A 集合中元素的特性 1.已知集合A中含有三个元素x,x+1,1,集合B中含有三个元素x,x2+x,x2,且A与B中的元素相同,求实数x的值. 由集合间的关系求参数 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法: (1)注意点:①不能忽视集合为⌀的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. (2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答. 1.设非空集合A={x|-2<x≤m-3n},B={x|3m+n<x≤2}.若A=B,则实数m= ,n= .  2.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⫋A,求实数a的取值范围. 3.已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x∣-<x≤2}.若B⊆A,求实数a的取值范围. 并集、交集、补集的综合运算 1.已知全集U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(CᵤM)∩N= (　　) A.{2} B.{3} C.{2,3,4} D.{0,1,2,3,4} 2.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(CᵤA)∩(CᵤB)=(　) A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} 并集、交集、补集的性质 (1)在利用交集、并集的性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B这类问题,解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析,如由A∩B=A得A⊆B,由A∪B=B得A⊆B等. (2)当集合B⊆A时,如果