2024届吉林省延边州高三教学质量检测（一模）数学试题

延边州2024年高三教学质量检测 数学 本试卷共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ） A． B．4 C． D．5 2．若集合,集合,则的子集个数为（ ） A．16 B．15 C．32 D．31 3．若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 4．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和，若,则下列关系中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为上一点，且,若,则的值为（ ） A． B． C． D． 7．谢尔宾斯基三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形的面积之和是（ ） 图1 图2 图3 图4 A． B． C． D． 8．已知M、N是抛物线上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦的中点P到直线的距离记为d,若,则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知随机变量,则 B．已知一组数据：7,7,8,9,5,6,8,8，则这组数据的第30百分位数是8 C．已知随机变量，且，则 D．抽取高三年级50名男生和50名女生的二模数学成绩，男生平均分为123分，方差为60；女生平均分为128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80 10．已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ） A．若点O到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 11．如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，平面，动点P在线段上，则下列说法正确的是（ ） A． B．存在点P,使得平面 C．三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是 D．当动点P与点F重合时，直线与平面所成角的余弦值为 12．已知当时，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数,若对任意的正数a、b,满足,则的最小值为___________． 14．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则球O的体积为___________． 15．定义在上的函数满足,则不等式的解集为___________． 16．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的A、B两点反射后（A、B、在同直线），分别经过点C和D,且,则E的离心率为___________． 图1 图2 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并写出的对称轴方程； （2）在中角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足,求函数的取值范围． 18．（12分） 已知正项数列的前n项和,满足：． （1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前n项和为，求证：． 19．（12分） “斯诺克”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，随着生活水平