专题01 分类讨论思想-2024年中考数学思想方法专项突破（全国通用）

专题01 分类讨论的思想 目录 分类讨论的思想 1 一、等腰三角形中的分类讨论思想 1 二、直角三角形中的分类讨论思想 5 三、不等式（组）中的分类讨论思想 7 四、方程（组）和函数中分类讨论的思想 8 五、圆中分类讨论的思想 9 分类讨论是数学中一种重要的思想方法，尤其在初中数学中有着广泛的应用。它通过将问题分解为若干个子问题，使复杂的问题变得更容易处理。 在初中数学中应用分类讨论时，应注意以下几点： 1. 确定分类的标准：在开始分类前，要明确分类的标准。例如，在处理绝对值问题时，可以根据绝对值的定义进行分类。 2. 保证分类的完整性：在分类时，应确保涵盖所有可能的情况。例如，在处理一元二次方程的根的分布问题时，应考虑判别式Δ的所有可能值。 3. 避免重复和遗漏：在分类过程中，要确保每一种情况都被恰当地归类，没有重复或遗漏。 4. 逐步解决问题：在处理复杂问题时，可以将问题分解为若干个子问题，逐步解决。例如，在解决三角形中的线段长度之和的最值问题时，可以先分析各种可能的三角形形状，再分别求解。 5. 总结答案：在分类讨论结束后，要总结各分类的情况和答案。例如，在处理一元二次方程的根的分布问题时，应根据不同的情况给出相应的结论。 通过以上介绍可以看出，分类讨论是解决复杂问题的有效方法。在初中数学中合理运用分类讨论的思想，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力和思维水平。 分类讨论的思想 一、等腰三角形中的分类讨论思想 1.等腰三角形中角的分类讨论 做题思路： 第一步：明确已知角是等腰三角形的顶角还是底角 第二步：（1）如果明确已知角是顶角还是底角则直接计算. （2）如果该角没有明确是顶角还是底角，那么需要分类讨论， ①若是锐角则有两种情况，该角可能是顶角也可能是底角. ②若是直角或钝角则只有一种情况，该角只能为顶角. 典例精析： 1．等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数为　　 A． B． C．或 D． 2.等腰三角形的顶角为，则它的一个底角是　　 A． B． C． D． 2.等腰三角形中边的分类讨论 做题思路： 第一步：明确已知边是等腰三角形的腰还是底边. 第二步：（1）如果明确已知边是腰还是底边则直接计算. （2）如果该边没有明确是腰还是底边，那么需要分类讨论，需要特别注意是否满足三角形的三边关系. 典例精析： 1．等腰三角形有两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为　　 A．13 B．17 C．13或17 D．10或13 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为　　 A． B． C．或2 D．或 3．已知等腰三角形两边的长、满足，则三角形周长为　　 A．10 B．11 C．12 D．10或11 3.等腰三角形形状的分类讨论 做题思路： 如果题目中出现作高线、作垂线、作垂直平分线时，并且等腰三角形形状不明确时，则需要分类讨论，一般分为锐角的等腰三角形，钝角的等腰三角形. 典例精析： 1．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于　　 A．或 B． C． D．或 2．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为　　 A． B． C．或 D．或 3．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 A．或 B． C． D．或 4.等腰三角形存在性问题的分类讨论 做题思路： 第一步：一般情况下已知两定点一动点. 此时的讨论思路如下: 假设已知定点A、B，动点P. （1）若以A为顶点则存在AB=AP，以A为圆心，AB的长为半径作圆. （2）若以B为顶点则存在BA=BP，以B为圆心，BA的长为半径作圆. （3）若以P为顶点则存在PA=PB，作AB的垂直平分线. 简称为：两圆一线 若要求出详细的点的坐标则需要结合两点之间的距离公式或勾股定理. 典例精析： 1．方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知、是两格点，使得为等腰三角形的格点的个数是　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．在平面直角坐标系中，已知．在坐标轴上确定一点，使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 3．如图，是射线上一点，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为　　 A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6 4．（等腰三角形与反比例函数）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 5．（等腰三角形与二次函数）定义：由