2.6.1函数的单调性（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

2.6.1函数的单调性 （4）.对数函数的导数: （5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/  , (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/  温故知新 导数的运算法则: 法则1: 法则2: 法则3: 判断函数单调性有哪些方法？ 比如：判断函数 的单调性。 x y o 函数在 上为____函数， 在 上为____函数。 图象法 定义法 减 增 如图： 首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义. 广东省阳江市第一中学周如钢 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 y x o a b y x o a b 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是减函数； 若 f(x) 在D上是增函数或减函数， 增函数 减函数 则 f(x) 在D上具有严格的单调性。 D 称为单调区间 D = ( a , b ) 二、复习引入: (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) 用定义法证明函数的单调性的一般步骤： (1)任取x1、x2∈D，且x1< x2. (4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与0比较) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (5)结论 本章学后，此方法基本上就被淘汰 7 y x 0 a b c 例1 单调性 导数的正负 函数及图象 x y o x y o 切线斜率 的正负 x y o 函数单调性与导数的关系？ k>0 k>0 k<0 k<0 + + - - 递增 递减 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 抽象概括： 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： 注意 若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0， 则在这个区间内，函数y = f(x)单调递增; 若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 例1 讨论函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的单调性. 解 f'(x)=6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3). 设 f'(x)＞0,则 6(x+2)(x-3)＞0,即 x＜-2 或 x＞3. 故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f'(x)＞0, 因此，在这两个区间内，函数f(x)均单调递增； 当x∈(-2,3)时,f'(x)＜0, 因此，在这个区间内，函数f(x)单调递减. 函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画出函数的大致图象.图2-14即为函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的大致图象. 总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 纳 ①求定义域 ②求 ③令 ④作出结论 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？ 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ 归   解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0；所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增，如图(1)所示； y = x3 + 3x x y O （1） x y O   （2） 1 1   例2 已知导函数 的下列信息: 当1 < x < 4 时, 当 x > 4 , 或 x < 1时, 当 x = 4 , 或 x = 1时, 试画出函数 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时,