6.3余弦定理（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.3余弦定理（第2课时） 学习目标 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式. 2.能够从余弦定理得到它的推论. 3.能够应用余弦定理及其推论解三角形. 正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系 ． 那么 ，三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢？ 在图 ６-３-２ 中 ， 由两点间的距离公式 ， 得 两边平方 ， 得 新课讲解 3 这样 ， 我们就得到了 余弦定理 ： 在 △ ABC 中 ， 设角 A、 B及 C所对边的边长分别为 a 、 b及 c， 则有 余弦定理 也可以表示成如下形式 ： 将余弦定理用于直角三角形 ， 立即可得勾股定理 ． 因此 ， 勾股定理可视为余弦定理的特例 ． 正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系 ， 是求解三角形的基本工具 ． 我们已在上节例 １ 中应用正弦定理处理了已知两角和一边求解三角形其他元素的问题 ， 现在再来研究其他情况 ． 解 　 由余弦定理 ， 得 再由余弦定理 ， 得 因为角 A为三角形的内角 ， 所以 A＝６０°． 由三角形内角和定理 ， 最后可得 B ＝１８０°－A －C ＝７５°． 所以 ， c＝２ ， A＝６０° ， B＝７５°． 解 　 方法一 ： 由正弦定理 ， 得 从而B＝６０°或 B ＝１８０°－６０°＝１２０°． 当 B＝６０° 时 ， C＝１８０°－３０°－６０°＝９０° ， 再由 得 c＝４ ； 当 B＝１２０° 时 ， C＝１８０°－３０°－１２０°＝３０° ， 再由 得 c ＝２． 所以 ， B＝６０° ， C ＝９０° ， c ＝４ 或 B＝１２０° ， C＝３０° ， c＝２． 8 方法二 ： 由余弦定理 ， 得 所以 c＝４ 或 c＝２． 当 c＝４ 时 ， ｃｏｓ B＝ 所以 B＝６０°, 从而 C＝１８０°－３０°－６０°＝９０° ； 当 c ＝２ 时 ， ｃｏｓ B ＝ 所以 B＝１２０°， 从而 C ＝１８０°－３０°－１２０°＝３０°． 于是得到结论 ： B＝６０° ， C ＝９０° ， c ＝４ 或 B ＝１２０° ， C ＝３０° ， c ＝２． 例 ６　 在 △ ABC中 ， 已知 a＝４ ， b＝５ ， c＝６． 求角 A 的余弦值和 △ ABC的面积 S 解 　 由余弦定理 ， 得cos 由此可得 从而 解：在△ABC中，已知a=3，b=4，C=60° 由余弦定理 练习 ６． ３ （ ２ ） １． 在 △ ABC 中 ， 已知 a＝３ ， b＝４ ， C ＝６０°． 求 c ． 课本练习 ２．在 △ ABC 中 ， 已知 A＝４５° ，，求 B、 C 及 c ． 解:因为A=45°， 则由正弦定理可得: 又a > b，所以B为锐角，则B=30°，则C=180°-45°-30°= 105° 由正弦定理可得 ３． 在 △ ABC中 ， 已知三边之比为 ２∶３∶４． 求该三角形的最大角的余弦值 ． 解：在△ABC中，已知三边之比为2 :3:4，不妨设三边边长分别为2t，3t，4t则该三角形的最大角的余弦值为 1.已知中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,c=4, 解：由余弦定理可知，所以有，则。 解得：b=3.(舍去) 随堂检测 2.在中，若a=，b+c=10，求b,c。 3.在中， (1)若，，，求及. 解(1)：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 课堂小结: 1.余弦定理： 2. 余弦定理的推论： 解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，所以75＝100－2bc(1-0.5)，即bc＝25. 由b+c=10和bc=25联立，解得b=c=5 $$