热点专题06反比例函数（9个热点）-2023-2024学年九年级下册数学重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题06反比例函数（9个热点） 考点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是，故函数图象与轴、轴无交点； （2）可以写成()的形式，自变量的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 考点二、反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线 图象 性质 （1）图象分别位于第一、三象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而减小 （1）图象分别位于第二、四象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而增大 对称性 反比例的图像关于原点的对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 考点三、实际问题与反比例函数 1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． 2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 题型一 反比例函数的定义 【例1】下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（　　） ①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系； ②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系； ③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系； ④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】若函数是反比例函数，则 ． 【变式1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若是关于的反比例函数，则常数 ． 【变式1-3】已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 题型二 待定系数法求解析式 【例3】反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【例4】如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线：分别交两函数图象于点和点，过点作交反比例函数图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求点的坐标． 【变式2-1】如图，是面积为4的等腰三角形，底边在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为 ． 题型三 反比例函数的图象的判断问题 【例5】在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【例6】函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．    C．    D．    题型四 反比例函数的增减性问题 【例7】对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．图象分布在第二、四象限 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【例8】若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式4-1】从下列4个函数：①；②；③；④中任取一个，函数值随自变量的增大而增大的概率是（    ） A． B．