第3部分 深化2 第3讲 分类讨论思想-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习练习（老教材）

　分类讨论思想 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 考点1　由概念、公式、法则、性质引起 的分类讨论 【例1】　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列{an}的公比q是(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知函数f (x)＝若f (1)＋f (a)＝2，则a的取值集合是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类． (2)由公式引起的讨论要注意公式的限制条件． 考点2　由图形的不确定性引起的 分类讨论 【例2】　(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________． (2)(2022·全国乙卷改编)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos ∠F1NF2＝，则C的离心率为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论． 考点3　由参数变化引起的分类讨论 【例3】　已知函数f (x)＝x2－(2m＋1)x＋ln x(m∈R)． (1)当m＝－时，若函数g(x)＝f (x)＋(a－1)ln x恰有一个零点，求a的取值范围； (2)当x＞1时，f (x)＜(1－m)x2恒成立，求m的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲　分类讨论思想 例1　(1)C　(2)　[(1)若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1， 但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9， 与题设矛盾，故q≠1. 又S3＋S6＝2S9，① 根据等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，得(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，② 由①②可得S3＝2S6， 所以q3＝＝－，所以q＝－. (2)f (1)＝e0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a)＝2，得f (a)＝1. 当a≥0时，f (a)＝ea-1＝1，所以a＝1. 当－1<a<0时，f (a)＝sin (πa2)＝1， 所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)． 所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝， 因为－1<a<0，所以a＝－. 则实数a的取值集合为.] 例2　(1)或4　(2)或　[(1)当6是下底面周长，4是三棱柱的高时， 体积V＝2××4＝4； 当4是下底面周长，6是三棱柱的高时， 体积V＝×6＝. 故体积为或4. (2)若M，N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，过F1作圆D的切线，切点为B，过F2作AF2⊥MN于点A. 所以OB⊥F1N，因为cos ∠F1NF2＝>0， 所以N在双曲线的左支． |OB|＝a，|OF1|＝c，|F1B|＝b，设∠F1NF2＝α， 即cos α＝，则sin α＝， |NA|＝a，|NF2|＝a， |NF2|－|NF1|＝2a， a－＝2a， 2b＝a，所以e＝. 若M，N在双曲线的两支，因为cos ∠F1NF2＝>0，所以N在双曲线的右支． 所以|OB|＝a，|OF1|＝c，|F1B|＝b，设∠F1NF2＝α， 由cos ∠F1NF2＝，即cos α＝，则sin α＝， |NA|＝a，|N