第3部分 深化2 第2讲 数形结合思想-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习练习（老教材）

　数形结合思想 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确． 考点1　以形助数——代数问题几何化 【例1】　(1)(2023·四川乐山模拟)已知函数f (x)＝若方程f (x)＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是(　　) A．　　　　　 B． C． D． (2)已知奇函数f (x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (2)＝0，则满足x·f (x)＜0的x的取值范围是________． (3)已知A(3，0)，B(－2，1)是椭圆＝1内的点，M是椭圆上的一个动点，则|MA|＋|MB|的最大值与最小值之和等于________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数问题、抽象函数解不等式问题、解析几何中的最值问题等，通常转化为数形结合问题，其中，正确作出两个函数的图象是解题关键． 考点2　以数定形——几何问题代数化 【例2】　(1)已知点P(m，n)是函数y＝图象上的动点，则|4m＋3n－21|的最小值是(　　) A．25　　　B．21　　　C．20　　　D．4 (2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C． D． (3)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在抛物线上有一点P，使△APF的周长最小，则此时点P的坐标为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　(1)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离． (2)与几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义等，采用以形助数的方式辅助解题，会使问题变得特别简单． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲　数形结合思想 例1　(1)A　(2)(－2，0)∪(0，2)　(3)20　 [(1)f (x)＝ 当－x0时， f (x)＝sin πx－cos πx＝2＝2sin ， 令πx－＝－，解得x＝－， 当x＝－时，f ＝2sin ＝1， 当x>0时，f (x)＝|log2x|，令f (x)＝2， 解得x＝4或x＝， 令f (x)＝1，解得x＝2或x＝， 作出函数f (x)的图象如图所示， 因为方程f (x)＝a恰有四个不同的实数解， 即y＝f (x)的图象与直线y＝a恰有四个交点，所以1a<2， 不妨令x1<x2<x3<x4， 则x1<x2<0<x3<2x4<4， 且x1与x2关于x＝－对称， 所以x1＋x2＝－， 又|log2x3|＝|log2x4|， 即－log2x3＝log2x4， 所以log2x4＋log2x3＝0， 即x3·x4＝1， 所以x3＝， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝－＋x4， 因为y＝＋x在[2，4)上单调递增， 所以＋x4∈， 所以x1＋x2＋x3＋x4∈. (2)由题意作出f (x)的大致图象如图． 所以当x·f (x)＜0时， 若x＞0，则f (x)＜0，由图象知0＜x＜2； 若x＜0，则f (x)＞0，由图象知－2＜x＜0. 故满足x·f (x)＜0的x的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． (3)易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1， 由a2＝25，得a＝5，则|MF1|＋|MA|＝10， 所以|MA|＋|MB|＝10＋|MB|－|MF1|. 因为||MB|－|MF1|||BF1|， 所以－|BF1||MB|－|MF1||BF1|， 如图，设直线BF1交椭圆于M1，M2两