第一章～第六章（集合、不等式、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列）（综合训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第一章~第六章（集合、不等式、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列）（综合训练） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知集合，，，则的真子集共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．7 4．已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 6．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 7．设，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 9．已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 10．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆与圆相交时，圆平分圆的周长，且,则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．函数的定义域是________． 12．请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 13．若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 _______ 14． 中，，则 的最大值为_____. 15．对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则；②若，则； ③若对任意的，都有，则有； ④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立． 其中所有正确结论的序号是______． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 在中，. (1)求的大小； (2)若，，求的面积. 17．（13分） 函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:； 条件②:； 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 18．（14分） 已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 19．（15分） 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求k的取值范围； (3)设s，t为正数，证明：，至少有一个小于． 20．（15分） 设为正整数，集合，对于集合中个元素，若，则称具有性质. 记，为中的最小值. (1)当时，若，判断是否具有性质. 如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值. 21．（15分） 设各项均为整数的无穷数列满足:. (1)求的所有可能取值; (2)若，求的最小值； (3)记数列的前项和为，是否存在数列，使得为无穷集?请说明理由. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章~第六章（集合、不等式、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列）（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D B D B A D 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11． 12．6（答案不唯一） 13．/ 14． 15．①③ 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 【详解】（1）由，则， 由，则，故， 即，又，故； （2）， 则，故. 17．（13分） 【详解】（1） ， 由，则，可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，则当时，即， 由函数在上单调递增，则，解得. 由函数在上至少存在个零点，则，解得. 选择条件①： 由，解得，即， 令，化简可得，即或，不符合题意. 选择条件②： 由，且，则直线为函数图像上的一条对称轴， 令，化简可得，则，化简可得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 选择条件③：， 由， 结合三角函数的诱导公式，可得，， 或，，解得或，可知存在或符合条件，不唯一. 综上所述，选择条件②，此时，存在且唯一，最小正周期. 18．（14分） 【详解】（1）证明： 由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 19．（15分） 【详解】（1）由题意可知的定义域为， .令，得， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，递减区间为. （2）当时，，不等式恒成立； 当时，若，即，等价于①. 令，，则， ①式等价于，即. 令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以. 当，即时，. 综上，若，则的取值范围是. (3) 由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. （i）当时，，故，符合题意； （ii）当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令， 则，单调递减， 所以，所以，单调递增， 则，即. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，，中至少有一个小于. 20．（15分） 【详解】（1）因为，所以具有性质； 因为， 所以． （2）方法1：由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2：先用反证法证明， 假设，由，则， 所以，同理，所以， 由，所以， 与已知矛盾，假设不成立，所以， 当时，，此时， 所以的最大值为1． 21．（15分） 【详解】（1）由及得，再根据： ，则或， ，则或， 因此的所有可能取值为. （2）由递推式得：， 分析奇偶性： 归纳可得：， 由于为偶数，故或， 记， 所以的取值范围为中与奇偶性相同的整数， 构造取法：令，其余， 验证符合奇偶条件的： ：，（）：， ：，：， ：，：， ：， （.）：， （）：，且是偶数，可行， （⇒为奇数）虽然，奇偶性不符， 因此可能的最小是，并且要在里取偶数，并且可达， 检验，， ，，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，， ，：. 因此， 为：， 验证：，， 所有差值绝对值符合 ，且 . 综上时均不满足条件（奇偶不符，或），故的最小值为20. (3)存在，证明如下： 定义操作（从开始取连续8项）： ，， ，， ，， ， 验证， ， 计算， 下证 已知，设，则： 待证①， 由得，② 根据递推条件，可设： 于是：所以： 将②代入：，③ 将①展开：，④ 选取符号模式： 验证③： 展开合并可得，对任意成立， 验证④：设，取： 由于，中和的系数均为零，故，对任意成立， 由此得到构造：操作（从开始取连续8项）, 满足，且代入计算得， 取初始段，则， 从第项起，重复进行操作，每项增加，即 令，得，即， 进行一次反操作（操作中各平方项前符号取反）， 则有 取，，得， 从第项起，依此构造，每次应用操作时起始项均为， 故，即每项增加， 于是 此时，且值恢复为， 以上过程以项为周期（一次反与次），可无限重复， 从而得到无穷多个（如）使得， 因此，存在满足条件的数列，使得为无穷集. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章~第六章（集合、不等式、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列）（综合训练） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知集合，，，则的真子集共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，进而求，根据元素个数求真子集的个数. 【详解】因为集合， 且，则，即集合有2个元素， 所以集合的真子集共有个. 故选：A. 2．若复数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】方法一：直接求复数的模；方法二：先求出复数的表达式，然后求模. 【详解】法一：. 法二：， 故. 故选：B. 3．已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解． 【详解】由已知， 又因为，所以，解得， 故选：D． 4．已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得. 【详解】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数. 所以，即.所以充分性成立. 反过来，当，即， 根据正切函数的性质可得，存在，使得，即. 所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件. 故选：C. 5．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【答案】D 【分析】列不等式求出定义域可判断A；利用偶函数的定义可判断B；利用二次函数和对数函数的性质求出最大值可判断C；利用复合函数的单调性可判断D. 【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确； ∵，则为偶函数，故B正确； ∵，， 令，当时，单调递减， 而在上单调递增，则在上单调递减，故D错误； ∵，，令， 当时，，则的最大值是，故C正确. 故选：D. 6．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再求出，结合两式利用指数运算即可得解. 【详解】由题意知，，则①， 又，，所以②， 联立①②可得，则. 故选：B. 7．设，，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取特殊值即可验证A、B、C三个选项，令，由则 ，构造函数，利用导数证明函数在时单调递增，则，故. 【详解】当时， ，此时，选项A不成立； 当时， ，此时，选项B不成立； 当时， ，此时，选项C不成立； 令，由则 ， 构造函数 ，则，当且仅当时，等号成立， 所以函数在时单调递增，因为 ，因此当时， ，即， 即 ，故，选项D正确. 故选D 8．在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得. 【详解】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的只有B. 故选：B 9．已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分，，三种情况结合等差数列性质求解即可. 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 10．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆与圆相交时，圆平分圆的周长，且,则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， ， 因为，且, 所以， 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．函数的定义域是________． 【答案】 【分析】根据具体函数的定义域求解方法即可得出结果. 【详解】根据题意可得如下不等式组， 解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12．请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 【答案】6（答案不唯一） 【分析】将原题转换为，得即可. 【详解】命题“，使”为假命题，则命题“，使”为真命题， 所以， 而在单调递减，在单调递增， 而离比离远， 所以当时，， 所以. 故答案为：6（答案不唯一）. 13．若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 _______ 【答案】/ 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线的条件可得，，再由基本不等式可得最大值. 【详解】因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. 14． 中，，则 的最大值为_____. 【答案】 【分析】由正弦定理将转化为，利用余弦定理得.根据不等式求得其最小值，从而得到的最大值. 【详解】由正弦定理，，得，即. 所以. 由余弦定理，得. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，. 所以当且仅当时，取得最小值，最小值为. 因为，且在上单调递减，所以的最大值为. 故答案为：. 15．对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若对任意的，都有，则有； ④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【分析】利用并项求和法求和判断①；利用前n项和与第n项的关系求解判断②；利用给定的递推关系得出，并表示出即可推理判断③；假定存在导出矛盾判断④. 【详解】对于①，，，①正确； 对于②，，令，则，当时，， 则，，因此，②错误； 对于③，由，得， 当时，，则当时，， 因此 ，. 当时，，所以对任意的，都有成立，正确， 对于④，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立， 则必有，且都是非负整数，令正整数， 于是， 则，，与矛盾，错误； 故答案为：①③ 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 在中，. (1)求的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将边化为角后，借助同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 由，则，故， 即，又，故； （2）， 则，故. 17．（13分） 函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:； 条件②:； 条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】（1） ， 由，则，可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，则当时，即， 由函数在上单调递增，则，解得. 由函数在上至少存在个零点，则，解得. 选择条件①： 由，解得，即， 令，化简可得，即或，不符合题意. 选择条件②： 由，且，则直线为函数图像上的一条对称轴， 令，化简可得，则，化简可得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 选择条件③：， 由， 结合三角函数的诱导公式，可得，， 或，，解得或，可知存在或符合条件，不唯一. 综上所述，选择条件②，此时，存在且唯一，最小正周期. 18．（14分） 已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 【答案】(1)证明： 由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. (2)（i）；（ii）1个零点 【分析】（1）先对函数求导，再求出和的值，根据导数的几何意义得到切线方程，进而证明切线与直线平行. （2）（i）对函数求导，根据函数在区间上存在极值点，分析导数在该区间上的正负变化，确定的取值范围. （ii）结合（i）问中的取值范围，分析函数在区间上的单调性，判断零点个数. 【详解】（1）略； （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 19．（15分） 已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求k的取值范围； (3)设s，t为正数，证明：，至少有一个小于． 【答案】(1)递增区间为，递减区间为 (2) (3) 由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. （i）当时，，故，符合题意； （ii）当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令， 则，单调递减， 所以，所以，单调递增， 则，即. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，，中至少有一个小于. 【分析】（1）利用导数法可得； （2）对和讨论求解， 当时，若，即，等价于①.令，，则，①式等价于，即.构造函数，利用导数法求解即可； （3）由（1）可知单调区间，（i）当时，，故，符合题意；（ii）当时，若，则，符合题意；若，则.当时，.构造函数，利用导数法求解即可. 【详解】（1）由题意可知的定义域为， .令，得， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，递减区间为. （2）当时，，不等式恒成立； 当时，若，即，等价于①. 令，，则， ①式等价于，即. 令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以. 当，即时，. 综上，若，则的取值范围是. （3）略 20．（15分） 设为正整数，集合，对于集合中个元素，若，则称具有性质. 记，为中的最小值. (1)当时，若，判断是否具有性质. 如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值. 【答案】(1)具有性质， (2)1 【分析】（1）根据定义，计算，即可判断具有性质；再分别计算出，即可求得； （2）方法1：由已知得出，结合，得出，进而得出，并取验证的最大值可以取到；方法2：用反证法假设，由已知得出与题设矛盾，即可说明. 【详解】（1）因为，所以具有性质； 因为， 所以． （2）方法1：由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2：先用反证法证明， 假设，由，则， 所以，同理，所以， 由，所以， 与已知矛盾，假设不成立，所以， 当时，，此时， 所以的最大值为1． 21．（15分） 设各项均为整数的无穷数列满足:. (1)求的所有可能取值; (2)若，求的最小值； (3)记数列的前项和为，是否存在数列，使得为无穷集?请说明理由. 【答案】(1) (2)20 (3)存在，证明如下： 定义操作（从开始取连续8项）： ，， ，， ，， ， 验证， ， 计算， 下证 已知，设，则： 待证①， 由得，② 根据递推条件，可设： 于是：所以： 将②代入：，③ 将①展开：，④ 选取符号模式： 验证③： 展开合并可得，对任意成立， 验证④：设，取： 由于，中和的系数均为零，故，对任意成立， 由此得到构造：操作（从开始取连续8项）, 满足，且代入计算得， 取初始段，则， 从第项起，重复进行操作，每项增加，即 令，得，即， 进行一次反操作（操作中各平方项前符号取反）， 则有 取，，得， 从第项起，依此构造，每次应用操作时起始项均为， 故，即每项增加， 于是 此时，且值恢复为， 以上过程以项为周期（一次反与次），可无限重复， 从而得到无穷多个（如）使得， 因此，存在满足条件的数列，使得为无穷集. 【分析】（1）由递推关系及初始值，依次计算，再代入的可能值，通过分类讨论与基本代数运算确定所有可能取值. （2）利用递推式将表示为，分析奇偶性规律得出的奇偶性与的关系；结合平方和公式得到的取值范围，通过枚举满足奇偶条件的并验证，最后构造符号组合证明可实现. （3）构造“操作”和“反操作”这两种固定符号模式的项组合，利用其周期性以及和的变化公式（或），通过选取初始值并进行周期操作，使能无限多次回到，从而证明存在性. 【详解】（1）由及得，再根据： ，则或， ，则或， 因此的所有可能取值为. （2）由递推式得：， 分析奇偶性： 归纳可得：， 由于为偶数，故或， 记， 所以的取值范围为中与奇偶性相同的整数， 构造取法：令，其余， 验证符合奇偶条件的： ：，（）：， ：，：， ：，：， ：， （.）：， （）：，且是偶数，可行， （⇒为奇数）虽然，奇偶性不符， 因此可能的最小是，并且要在里取偶数，并且可达， 检验，， ，，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，， ，：. 因此， 为：， 验证：，， 所有差值绝对值符合 ，且 . 综上时均不满足条件（奇偶不符，或），故的最小值为20. （3）存在，证明略. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $