第3部分 深化2 第1讲 函数与方程思想-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习练习（老教材）

　函数与方程思想 函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象、性质，使问题得到解决；方程思想就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，构建方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的． 考点1　构造函数法 【例1】　(1)若log3a＋3a－1＝log9b＋9b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 (2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2 024(x－1)＝－1，(y－1)3＋2 024(y－1)＝1，则x＋y＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　构造函数法就是根据题中所给的式子结构，构造出相应的函数，然后再研究该函数的性质，如奇偶性、单调性等，达到解决问题的目的．一般情况下，比较大小、解不等式可能涉及构造函数法． 考点2　目标函数法求最值 【例2】　(2021·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2|＝__________，()·的最小值为__________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　目标函数法即把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法．有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法． 考点3　利用方程思想求值 【例3】　如图，已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点．若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深化二　学科思想 第1讲　函数与方程思想 例1　(1)A　(2)2　[(1)∵log3a＋3a－1＝log9b＋9b， ∴log3＋3a＝log3＋32b＋1＝log3＋32b＋log33>log3＋32b，设f (x)＝3x＋log3， ∵y＝3x在R上为增函数， y＝log3 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f (a)>f (2b)，即a>2b.故选A. (2)令f (t)＝t3＋2 024t，则f (t)为奇函数且在R上是增函数． 由f (x－1)＝－1＝－f (y－1)＝f (1－y)， 可得x－1＝1－y， ∴x＋y＝2.] 例2　1　　[由题意，设||＝λ，λ∈(0，1)， 则△DFC是边长为λ的等边三角形， ∴||＝1－λ. 在Rt△BED中，||＝. 又DF∥BA，∴与同向共线． ∴|2|＝2||＋||＝2×＋λ＝1. 以B为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则D(1－λ，0)，A，F，E. ∴＝， ＝. ∴()·＝(5λ2－4λ＋3)＝＋，当且仅当λ＝时，上式取得最小值.] 例3　B　[因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|， 所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R， 又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R. 双曲线C的一条渐近线方程是y＝x，A(a，0)， 所以点A到直线y＝x的距离 d＝＝， 所以＝(2R)2－R2＝3R2， 即a2b2＝3R2(a2＋b2)， 在△OQA中，由余弦定理得， |OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|·cos 60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×＝7R2＝a2.