第3部分 深化1 第3讲 建模应用题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习练习（老教材）

　建模应用题 近些年高考试题中出现了很多立意深刻、背景精妙的数学建模类试题，该类试题贴近生活实际、关注社会热点，具有“展现数学文化”“体现应用价值”“感受数学之美”等特点，强调对数学本质的探索和数学应用的实践，极具创新性．数学建模是学科育人和创新人才培养的有效载体，高考更加重视考查学生数学建模的核心素养，引导学生由“解题”向“解决问题”方向转变． 考点1　日常生活中的等差、等比数列建模 【例1】　2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程． 若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　本题以冬奥会开幕式“雪花曲线”为背景，结合数列的递推关系和等比数列的求和公式，要求学生根据“雪花曲线”的形成过程，发现若干不同规格的几何图形之间的关系，考查逻辑推理和数学建模的核心素养． 考点2　测量学中的三角函数建模 【例2】　(2023·四川自贡模拟预测)为测量某栋楼的高度PQ，在水平地面的某点A水平放置一面平面镜子M1 ，观测人员在同一水平地面上移动，直到能看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a1，注意此时保持镜子M1位置不动，将第二面平面镜子M2水平放置在水平地面的B处，观测人员在同一水平面上移动，直到能在平面镜M2中看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a2，同时测量两面镜子M1和M2之间的水平距离a.若A，B，PQ在同一铅垂平面内，记眼睛到地面的距离为h，则楼高H等于(　　) A． B． C．＋h D．＋h 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【点评】　此题主要考查了相似三角形的应用，运用镜面对称性质，得到三角形相似是解题的关键． 考点3　以数据分析中的概率统计建模 【例3】　盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A，B，C三种样式，且每个盲盒只装一个． (1)某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”． 女生 男生 总计 购买 未购买 总计 (2)该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表： 周数x 1 2 3 4 5 6 盒数y 16 23 25 26 30 由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4，5，6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验． ①若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请用4，5，6周的数据求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并说明所得的线性回归方程是否可靠． ②如果通过①的检验得到的线性回归方程可靠，我们可以认为第2周卖出的盒数误差也不超过2盒，请你求出第2周卖出的盒数的可能取值；如果不可靠，请你设计一个估计第2周卖出的盒数的方案． 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： ＝＝－.