第1部分 专题限时集训17-19 导数的应用-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(十七)　利用导数证明不等式 1．已知f (x)＝(x＋3)ln (x＋1)－3x(0<x<3)． (1)证明：f (x)<0； (2)证明：＋…＋>ln (n＋1)(n∈N*)． 2．(2023·湖南岳阳三模)已知函数f (x) ＝ aex－x－a. (1)若f (x)≥0，求a的值； (2)当a≥1时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明． ①f (x)>x ln x－sin x； ②f (x)>x(ln x－1)－cos x. 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题限时集训（十七） 利用导数证明不等式 1.[证明（①）要证f0,即证lnc+1)一桑<0， 令g6=n(+1)-释0<3)， 尉gw=克南=+a时0， x-3) 故g)在(0,3)上单调递减，g(x)g(0)=0,故f(x)0. (2)(1)可知：当0<3时，释>血x十1). 令=aeN.h(+1). 化为品>血驶， 故是+号十+品n呈+n是+…+n驶=n(经2学)=h(n+1), 所以原不等式得证 2.[解](1)由f(x)=ae-x-a,得f(0)=0, 又f'(x)=ae-l, 当a≤0时，有f'(x)0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减， 又由f(0)=0,则fx)≥0不恒成立. 当a>0时，令f"(x)=0,得x=ln告， 则当心ln吉时，有f"(x)0,当xn时，有f()0. 即fx)在(-o,ln)上单调递减，在(ln时，+oo)上单调递增， 所以f(ln)是fx)的极小值， 又因为f)≥0，且f(0)=0,故ln}=0,即a=1,经验证成立，所以a=1. (2)证明：选择①作答： 当a≥l,x>0时，fx)=ae*-x-a=a(er-l)-x≥er-1-x. 设gx)=er-x-xlnx十sinx-1, 当0<x≤1时，一xlnx≥0，sinx>0, 又由(1)知e-1-x>0,故gx)>0, 当>1时，g'(x)=er-2一lnx+cosx, ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 设hx)=er-2-lnx+cosx,则(x)=er-一sinx,(x)Pe-1一1>0， 则h(x)在(1，十oo)上单调递增，x)>h(1)=e一2十cos1>0, 所以g(x)>0,则g(x)在(1，+o)上单调递增， gx)Pg(1)=e-2+sin1>0. 综上，g>0,即当a≥1时，f()xIn x-一sinx 选择②作答： 当a≥l,xo0时，fx)=ae*-x-a=a(e*-l)-x≥ex-1-x 设g(x)=c-xlnx十cosx-1, 当0x≤1时，一xlnx≥0，cos0,e-1>0, 故gx)P0, 当>l时，g'(x)=er-1一lnx-sinx, 设w)=ex-1-lnx一sinx,则hx)=e-是一cosx, h'(x)>e-1-1>0, 则h(x)在(1，十o)上单调递增，hx)>h(1)=e一1一sin1>0, 所以g(x)P0, 则g(x)在(1，十o)上单调递增，g(x)>g(1)=e-1十cos1>0. 综上，gw)>0,即当a≥1时，f(r)>Px血x-1)一cosx ·独家授权侵权必究· 专题限时集训(十八)　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 1．(2023·浑南区校级期中)已知函数f (x)＝2x2＋x－k，g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，g(x)取得极值－2. (1)求函数g(x)的单调区间和极大值； (2)若对任意x∈[－1，3]，都有f (x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； (3)若对任意x1∈[－1，3]，x2∈[－1，3]，都有f (x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围． 2．(2023·山东临沂二模)已知函数f (x)＝x－sin x． (1)若存在x∈，使f (x)≤ax成立，求a的取值范围； (2)若g(x)＝f (x)－m ln x，存在x1，x2∈(0，＋∞)，且当x1≠x2时，g(x1)＝g(x2)，求证：x1x2<4m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十八)　利用导数解决不等式恒成立、能成立问题 1．[解]　(1)∵g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数， ∴g(－x)＝－g(x)，可得b＝d＝0，即g(x)＝ax3＋cx(a≠0)， 又当x＝1时，g(x)取得极值－2， ∴即 解得故函数g(x)＝x3－3x，导函数g′(x)＝3x2－3， 令3x2－3＝0，解得x＝±1，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，g(