第1部分 专题限时集训11-13 圆锥曲线相关-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习练习（老教材）

专题限时集训(十一)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．(2019·浙江卷)如图，已知点F (1，0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点． 过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2. (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求的最小值及此时点G的坐标． 2．(2023·四川校联考模拟预测)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，直线AM交椭圆C于另一点N.当点N为椭圆C的短轴端点时，原点O到直线NF2的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求·的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十一)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．[解]　(1)由抛物线的性质可得＝1， ∴p＝2， ∴抛物线的准线方程为x＝－1. (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)， 重心G(xG，yG)， 令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2， 由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1， 代入y2＝4x，得y2－y－4＝0， ∴2tyB＝－4，即yB＝－，∴B. 又xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)，重心G在x轴上， ∴2t－＋yC＝0， ∴C，G， ∴直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1，0)， ∵Q在焦点F的右侧，∴t2>2. ∴＝＝＝＝2－， 令m＝t2－2，则m>0， ∴＝2－＝2－≥2－＝1＋， ∴当m＝时，取得最小值为1＋，此时G(2，0)． 2．[解]　(1)由题意得＝，当点N为椭圆C的短轴端点时， 不妨设N(0，b)，故直线NF2的方程为＝1， 故原点O到直线NF2的距离为＝1， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝2， 故椭圆C的标准方程为＝1. (2)点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点， 故直线AM与直线BM的斜率均存在． 设直线AM的方程为y＝k(x＋2)， 由得 则M. 由得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，Δ>0， 设N(x1，y1)，则－2＋x1＝， 故x1＝，y1＝k＝， 即N. 所以·＝·＝＝4－＝4－≥4－＝16－20， 当且仅当2k2＝，即k2＝时等号成立． 所以·的最小值为16－20. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十二)　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．(2023·四川成都三模)已知斜率为的直线l与抛物线C：y2＝4x相交于P，Q两点． (1)求线段PQ中点纵坐标的值； (2)已知点T(，0)，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点(异于P，Q)．求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标． 2．在平面直角坐标系xOy中，P是圆E：x2＋y2＋2x－15＝0上的动点，已知F (1，0)，且线段PF的垂直平分线交PE于Q，设Q的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，若M，且△ABM内切圆的圆心在直线FM上，证明：l的斜率恒为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题限时集训(十二)　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．[解]　(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中x1≠x2， 由得＝4x1－4x2， 化简得＝， ∴＝，即＝， ∴线段PQ中点纵坐标的值为. (2)证明：设， ， ∴kPM＝＝， ∴直线PM的方程为y－y1＝， 化简可得(y1＋y3)y－4x－y1y3＝0， ∵T(，0)在直线PM上，解得y1y3＝－4， 同理，可得y2y4＝－4， ∴kPQ＝＝＝＝， ∴y3y4＝－3(y3＋y4)， 又直线MN的方程为(y3＋y4)y－4x－y3y4＝0， 即(y3＋y4)(y＋3)－4x＝0， ∴直线MN恒过定点(0，－3)． 2．[解]　(1)圆E的方程化为(x＋1)2＋y2＝16，所以圆心E(－1，0)，半径r＝4. 因为Q在PF的垂直平分线上，所以|QF|＝|QP|， 所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|EP|＝4. 又因为|EF|＝2，则|QE|＋|QF|＞2， 所以Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆， 由2a＝4，c＝1，得b＝＝. 所以C的方程为＝1. (2)证明：若直线l的斜率不存在，则AB∥FM， 此时△ABM的内切圆圆心不在FM上，不符合题意． 设l的方程为y＝kx＋m. 联立消y得＝1， 整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠1，x2≠1，且x1＋x2＝－， x1·x2＝. 因为△ABM的内切圆圆