28 第1部分 专题6 第6讲 利用导数解决函数零点或方程根问题-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第6讲 利用导数解决函数零点或方程根 问题 【高考定位】以基本初等函数为载体，结合函数零点存在定理，综合考查利用 导数判定函数零点个数或根据零点的个数求参数的范围等问题，难度较大. 能力考点1根据参数确定函数零点的个数 高考串讲·找规律★ 一★把握共性之“新” (2021·新高考川卷节选)已知函数f(x)=(x一1)e*-ar2+b. 从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点， ①<as号，b>2a: ②0<a<克，b≤2a. [听课记录] 通性通法 三步求解函数零点（方程根）的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或直线y =)在该区间上的交点问题： 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值（最值）、端点值等性质， 进而画出其图象； 第三步：结合图象求解 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 考题变迁·提素养★ ★打通应考之“脉” 1,[与含参数的零点综合问题](2023·浦口区月考)已知函数f(x)=nx一是(a∈R). (1)讨论fx)的单调性： (2)求证：a0时，fx)只有一个零点； (3)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围 2.[与三角函数交汇的零点综合问题]已知函数f(x)=lnx一x+2sinx,f"(x)为f(x) 的导函数 (1)求证：f'(x)在(0，)上存在唯一零点： ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点. 能力考点2 根据函数零点的个数确定参数 的范围 高考串讲.找规律★一★把握共性之“新” 1.(2021·全国甲卷节选)已知a>0且a≠1，函数fx)=等(x>0).若曲线y=f (x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围 [听课记录] 2.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)=ax-一(a十1)nx (1)当a=0时，求fx)的最大值： (2)若fx)恰有一个零点，求a的取值范围. [听课记录] 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 通性通法 已知函数零点求参数范围的一般步骤 (1)求导并分析函数的单调情况： (2)依据题意，大体画出相应函数的草图，数形结合分析函数的极值点： ()建立不等关系并求解：依据零点的个数建立与极值相关的不等式，求解得到 参数的范围 考题变迁·提素养★ ★打通应考之“脉” [给定区间上的零点问题]已知函数f(x)=x2-alnx,若a>0,函数fx)在区间(1， ©)上恰有两个零点，求a的取值范围. ””””” 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 提示}请完成《专题限时集训（十九）》见第163页 ·独家授权侵权必究· 第6讲　利用导数解决函数零点或方程根问题 能力考点1　根据参数确定函数零点的个数 高考串讲·找规律 解：函数f (x)＝(x－1)ex－ax2＋b， f ′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)． 若选①，令f ′(x)＝0， 解得x1＝0，x2＝ln (2a)＞0， 所以当x＜0时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增， 当0＜x＜ln (2a)时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减， 当x＞ln (2a)时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增， 由f (x)在(－∞，0)上单调且f (0)＝b－1＞2a－1＞0，f ＝＜0， 可得f (x)在(－∞，0)上有唯一零点． 由f (x)在(0，ln (2a))上单调递减，在(ln (2a)，＋∞)上单调递增， 且f (ln (2a))＝[ln (2a)－1]·2a－a ln2(2a)＋b＞[ln (2a)－1]·2a－a ln2(2a)＋2a＝a[2－ln (2a)]ln (2a)≥0， 所以在(0，ln (2a))及(ln (2a)，＋∞)上没有零点， 所以f (x)只有一个零点． 若选②，令f ′(x)＝0， 解得x1＝0，x2＝ln (2a)＜0， 所以当x＜ln (2a)时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增， 当ln (2a)＜x＜0时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减， 当x＞0时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增． 因为f (ln (2a))＝[ln (2a)－1]·2a－a ln2(2a)＋b[ln (2a)－1]·2a－a ln2(2a)＋2a＝a[2－ln