26 第1部分 专题6 第4讲 利用导数证明不等式-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 第4讲 利用导数证明不等式 【高考定位】常以e,nx,sinx等基本初等函数或与之相关的复合函数为载 体，将函数、方程、不等式巧妙地融合在一起，重在考查学生的转化化归、逻辑 推理的能力，多以解答压轴题的形式出现，难度较大。 能力考点1单变量不等式的证明 高考串讲·找规律★ ★把握共性之“新” (2023·天津卷节选)已知函数fx)=（安+)·n(x十1). (I)求曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率； (2)当x>0时，证明：f(x)>1. [听课记录] 通性通法 单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f(w)>gf()<gx)》的问题转化为证明f(9)一g(x)>0f ()一g(m)<0),进而构造辅助函数h()=f(x)一g(x): (2)最值法：欲证fx)<g(x),有时可以证明f(xmax<g()mim: (3)放缩法：在证明相关不等式时，若能灵活运用e≥x十1,1nx≤x一1这两个不 等式和不等式cr≥cx,lnx≤x,lnx≥l一进行放缩，往往事半功倍.一般地， 有。o≥f)+1,ngx)≤g(x)-1,扩大了应用范围. 考题变迁·提素养★一 ★打通应考之“脉” 1,[与e,nx有关的不等式证明问题]已知函数f(x)=1一nx,x∈(0,1)，求证： ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 型+2一是<1.题多解 2.与数列有关的不等式证明问题]已知函数f(x)=alnx十x2,其中a∈R且a ≠0 (1)当a=1时，证明：fx)≤x2+x-1: 2)求证：对任意的n∈N且n≥2，都有：（1+)(1+)(1+幸)… ·（1+立)<e(其中e≈2.718为自然对数的底数)， 3.[与sinx,cosx有关的不等式证明问题]已知f(x)=cosx十mx2-1(x≥0). (1)若fx)≥0在[0，十∞)上恒成立，求实数m的取值范围： (2)证明：当x≥0时，er-2≥simx-cosx. 独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 能力考点2双变量不等式的证明 高考串讲·找规律★ ★把握共性之“新” (2023·新高考I卷)已知函数f(x)=a(er十a)-x (1)讨论f)的单调性： (2)证明：当a>0时，f)>2na+ [听课记录] 通性通法。 证明双变量不等式的4种常见方法 (1)消元法：即借助题设条件，建立灼与2的等量关系，如x2=g),从而将f, x2)>A的双变量不等式化成()>A的单变量不等式. (②)换元法：结合题设条件，有时需要先对含有双变量的不等式进行“除法”变形， 再对含有双变量的局部代数式进行“换元”处理，将双变量问题等价转化为单变 量问题，即构建形如形式。 ()构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数：把不等 式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数。 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (4)主元法：对于两个独立的双变量，可以利用主元思想，依次处理两个变量，如 本题中先将x看作主元，消去x,得到关于a的不等式，再进行证明. 考题变迁·提素养★一★打通应考之“脉” 1.[与零点有关的双变量问题]已知函数f(x)=ax一nx(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数fx)有两个零点x,2,证明：盛+成>2 2.[与极值点有关的双变量问题]己知f(x)=xX-专w2一x,m∈R若f(x)有两 个极值点1，x2,且1<x2,求证：x2>e(e为自然对数的底数) ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 提示请完成《专题限时集训（十七）》见第161页 ·独家授权侵权必究·学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 第4讲 利用导数证明不等式 能力考点1单变量不等式的证明 高考串讲·找规律 解：①由题意，得fx)=-n(x+1)十（定+）×本， 所以f2)=专-坚， 故曲线y=∫)在x=2处切线的斜率为}一 (2)证明：要证0时，fx>1, 即证当0时，（是+)n1十x少1， 即证当x0时，血1+x少 构造g(0=nt- 20. 到0=南-0， 所以函数g0在(1，十o)上单调递增， 所以g(0>g1)=0, 所以h2e。 令x+1=0),则h(+1)e0), 所以当0时，（是+)nx+1少L,即少Pl