25 第1部分 专题6 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值-【提分教练】2024年新高考数学(文科)二轮总复习讲义（老教材）

　导数与函数的单调性、极值、最值 【高考定位】　1．导数的几何意义多以选择题、填空题的形式考查，重点考查曲线的切线方程的求法，注意方程思想的应用．2．函数的单调性、极值、最值常以指数函数、对数函数、三次有理函数(有时与三角函数相结合)为载体，融函数、方程、不等式的关系于一体，重点考查学生对知识的灵活应用能力，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题. 基础考点1　导数的运算及其几何意义 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 2．(江西卷)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f (x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 3．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线“在”某点的切线与曲线“过”某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 1．[导数的运算与几何意义交汇]已知f (x)＝2cos＋f ′(0)cos x，则曲线y＝f (x)在点处的切线的斜率为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 2．[利用导数的定义求值](2023·清远期中)设f (x)是可导函数，且＝2，则f ′(1)＝(　　) A． B．－1 C．0 D．－2 3．[平均变化率与导数的关系](2023·广东广州二模)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′(V)为r(V)的导函数．已知r(V)在0V3上的图象如图所示，若0V1<V23，给出下列四个结论： ①<； ②r′(1)>r′(2)； ③r<； ④存在V0∈(V1，V2)，使得r′(V0)＝. 其中所有正确结论的编号为(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 4．[公切线问题]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________． 基础考点2　利用导数研究函数的单调性 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 2．(2018·全国Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝－x＋a ln x．讨论f (x)的单调性． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．(2021·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f (x)＝(x－1)·ex－ax2＋b.讨论函数f (x)的单调性． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x)． (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x)＞0或f ′(x)＜0即可； ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x)≥0或f ′(x)0在单调区间上恒成立问题来求解． (4)含参数讨论单调性常见的四个方面． 如f ′(x)＝. ①二次项系数的讨论． ②根的存在性讨论，“Δ”讨论． ③根大小的讨论． ④根在不在定义域内的讨论． 提醒：若可导函数f (x)在区间D上单调递增，则有f ′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立． 1．[导数与数的大小比较